>>621
Rieman 計量の (dx)^2 や dx・dy っていうのは、一応
(dx)^2 := dx (×) dx、(dx)^2 := dy (×) dy、dx・dy := （dx (×) dy + dy (×) dx)/2
と定義して厳密化できる（"(×)" はテンソル積の記号)。
「微分形式」（=交代共変テンソル）じゃなくて対称共変テンソルだが。

√((dx)^2 + (dy)^2) は、その(dx)^2 + (dy)^2 っていう 2階共変テンソル（=接空間からの双線型形式）
に、√という関数を合成したものと考えればよい。

で、この合成写像に、接ベクトル v = Δx (∂/∂x) + Δy (∂/∂y) を代入すれば、
　(√(dx)^2 + (dy)^2)(v) = √(Δx)^2 + (Δy)^2
と、接ベクトルの長さになる。

微分形式 dx や dy を実際の数 Δx や Δy だとみなすということは、このように
（勝手に1つとった）接ベクトルを代入するという操作に対応している。