>>634-636
微分形式で理解できない式だから，数学科生が読むような厳密な教科書的数学の本では出てこないだけ。
直観的な理解を重んじるタイプの本（工学部向けの数学を使うための本など）なんかでは，
曲線の長さの公式の「導出法」として，

「曲線は，究極的には微小な折れ線の集まりと見ることができる。
この折れ線上で，右に微小量dx進んだとき上に微小量dy進むとすると，
三平方の定理より，この微小な折れ線の長さは ds=√{(dx)^2+(dy)^2} になる。
これをたくさん集めると，曲線の全長 ∫ds=∫√{(dx)^2+(dy)^2} が得られる。
あとは，y=f(x)で与えられる曲線の場合には
　∫ds=∫√{(dx)^2+(dy)^2}=∫√{1+(dy/dx)^2} dx
x=f(t)，y=g(t) で与えられるパラメータ表示曲線の場合には
　∫ds=∫√{(dx)^2+(dy)^2}=∫√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2} dt
と『変形』すれば，具体的に長さが計算できる。」

というふうに説明されている。

厳密な数学の教科書の場合，このような直観的理解をベースとしつつも，それを隠して，
∫√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2} dt
自体を曲線の長さの「定義」としてしまったりするわけだけど，微分形式に満足しない人たちは，
直観的理解の出発点となった ds=√{(dx)^2+(dy)^2} という式自体に数学的意味づけを求めているのだと思う。