部分∫的な解き方も出来ますが、解答の念頭にあるのはそうでは
ないように思います。部分∫的な考えで行くと、
∫(1-r^2)^(1/3) rdr =
{(-1/2)(1-r^2)}'(1-r^2)^(1/3)dr =
[(-1/2)(1-r^2) (1-r^2)^(1/3)]+ (1/2)(1/3)∫(1-r^2)(1-r^2)^(-2/3)(-2r)dr=
[(-1/2)(1-r^2) (1-r^2)^(1/3)]-(1/3)∫(1-r^2)^(1/3) r dr
右辺第二項を最左辺に移項して，
(1+1/3)∫(1-r^2)^(1/3) r dr = (-1/2)(1-r^2) (1-r^2)^(1/3)]
∫(1-r^2)^(1/3) r dr = (4/3)(-1/2)(1-r^2) (1-r^2)^(1/3)]