【sin】高校生のための数学の質問スレPART38【cos】
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0001１３２人目の素数さん
2005/09/17(土) 18:22:51(･∀･)やった!あと1問!
・
・
(ﾟДﾟ)ﾎﾟｶｰﾝ
(ﾟДﾟ)ﾊｧ?ﾅﾆｺﾉﾓﾝﾀﾞｲ?
ヽ(`Д´)ﾉｳﾜｧｧﾝ!!ﾜｶﾝﾅｲﾖｫ!!!
･･･てな時に､頼りになる質問スレです｡
・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
（× x+1/x+2 ； ○((x+1)/(x+2)) ）
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。
（トリップの付け方は自分で探すこと）
・質問者はあらゆる回答者に敬意を表しましょう。（荒らしはスルーでおながい）
・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。
（問題の途中だけとか説明なく習慣的でない記号を使うとかはやめてね）
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。それがない場合、放置されることがあります。
数学＠2ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
ttp://members.at.infoseek.co.jp/mathmathmath/
す
前スレ
【sin】高校生のための数学の質問スレPART37【cos】
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0357１３２人目の素数さん
2005/09/20(火) 23:10:25x^2-4x+aで割った商と余りが同じだから，その商と余りはともに1次式か
ともに定数．
商と余りが1次式ならf(x)は3次式，商と余りが定数ならf(x)は2次式また
は0だが，x^3で割ったときの条件から2次式や0の可能性は消える．
だからf(x)は3次式．
あとはf(x)=bx^3-24x+32=(x^2-4x+a)(cx+d)+(cx+d)=(x^2-4x+a+1)(cx+d)
の両辺を比較してa,b,c,dが決まる．
0358356
2005/09/20(火) 23:21:55早々のご解答ありがとうございました。お手数をお掛けしまして申し訳ないです。
解説写させて頂きました。今からちょっとにらめっこしてきます^ ^v
どもですm(_ _)m
0359１３２人目の素数さん
2005/09/20(火) 23:38:01試しに解いてみたがとけん・・・どこで間違ったんやろ・・・orz
f(x)をx^2-4x+aで割った余りは１次以下。これをbx+cとすると
f(x)=(x^2-4x+a)(bx+c)+bx+c
=bx^3+(-4b+c)x^2+(ab+b-4c)x+ac+c
f(x)をx^3で割ったときのあまりは-24x+32だから
1)b=0の時
f(x)=cx^2-4cx+ac+c
c=0となり
f(x)=0だから余りが-24x+32である事に反する。
2)b≠0の時
係数比較して
-4b+c=0
ab+b-4c=-24b
ac+c=32b
これを解いて
a=-9,c・・・・・・・
0360１３２人目の素数さん
2005/09/20(火) 23:48:10係数比較して作った式が間違い．
-4b+c=0
ab+b-4c=-24
ac+c=32
だろ．
0361１３２人目の素数さん
2005/09/20(火) 23:55:59_,,..,,,,_
./ , `ヽ,,
l ,3 ⊃ ヽ
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0362１３２人目の素数さん
2005/09/21(水) 00:32:00助けてやる
_,,..,,,,_
./ , `ヽ,,
l ,3 ⊃ ヽ
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_V＼ ,,/＼,| ,,∧,,|_/ | |
崖の端なんかに体重かけたら崩れるじゃないか
補強しといたから安心して寝ろ
0363１３２人目の素数さん
2005/09/21(水) 00:45:15_,,..,,,,_
./ , `ヽ,,
l ,3 ⊃ ヽ
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0364１３２人目の素数さん
2005/09/21(水) 01:13:58|i l |i l| li |
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./ ﾟ 3 ヽ ）´
） l ﾟ ll ∩ ノ そ
Σ `'ｰ---‐'' （
⌒ヽ/V⌒v､/⌒ ﾋﾞﾀﾞｧｧｧﾝ!!
0365１３２人目の素数さん
2005/09/21(水) 01:22:34./ , `ヽ,,
l ,3 ⊃ ヽ
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0366１３２人目の素数さん
2005/09/21(水) 07:20:070367１３２人目の素数さん
2005/09/21(水) 08:00:53なぞなぞ?
0368１３２人目の素数さん
2005/09/21(水) 14:28:240369１３２人目の素数さん
2005/09/21(水) 15:14:300370１３２人目の素数さん
2005/09/21(水) 17:25:01ちょっと難しいです、つまり位置ベクトルって具体的になんなんですか？
0371１３２人目の素数さん
2005/09/21(水) 18:06:581 数
2 集合
3 普通のベクトル
4 位置ベクトル
0372１３２人目の素数さん
2005/09/21(水) 18:25:41原点から点の位置(座標で表される)へのベクトル。
0373１３２人目の素数さん
2005/09/21(水) 19:00:47曖昧な説明をされるより教科書のほうがいいかと
0374１３２人目の素数さん
2005/09/21(水) 19:16:410375位置ベクトル
2005/09/21(水) 19:43:450376１３２人目の素数さん
2005/09/21(水) 20:03:19位置ベクトル…(始点を揃えた上で)終点の位置を表す量。
0377１３２人目の素数さん
2005/09/21(水) 20:13:010378１３２人目の素数さん
2005/09/21(水) 20:13:42直線L：(1−t^2)x＋2ty＝1＋t^2
tの値に無関係に，
この直線Lが定円に接することを示し，
その円の方程式を求めよ．
この問題で，tについても重解条件を使うと，
どういうワケか，求める円の方程式が出てくるのですが，
これは偶然なのか？
それとも解答として成立するのか？
できたら教えてください？
0379１３２人目の素数さん
2005/09/21(水) 20:13:450380１３２人目の素数さん
2005/09/21(水) 20:20:12偶然ではないけど解答として
(解)
(1+x)t^2-2yt+1-x=0の判別式を計算すると
D/4=y^2-(1+x)(1-x)=x^2+y^2-1
これが0になる点の集合がもとめる円なのでx^2+y^2=1。･･･(答)
じゃ点はもらえないだろ。
0381１３２人目の素数さん
2005/09/21(水) 20:25:32偶然ではないなら，
なぜ判別式でいけるのでしょう？
t＝tan(θ/2)とすると，
先の直線Lは，
xcosθ＋ysinθ＝1
となって，x^2＋y^2＝1上の点(cosθ，sinθ)を
接点とする接線になってはいるのですが，
tが重解をもつというのがどういう意味を持つのでしょうか？
そしてt自体の意味はなんでしょうか？
0382１３２人目の素数さん
2005/09/21(水) 20:26:38レスをありがとうございました．
0383１３２人目の素数さん
2005/09/21(水) 20:35:03そこまでわかってんならわかんじゃないの？直線(1−t^2)x＋2ty＝1＋t^2は
点((1-t^2)/(1+t^2),2t/(1+t^2))におけるx^2+y^2=1の接線になってる。
接点を(cosθ,sinθ)とするとt=tan(θ/2)。よって円の外部でx=-1以外なら直線は２度
通過し、円の内部なら直線は通過せず、円の周上でx=-1以外のときは１度のみ通過する。
x=-1のとこは２次方程式にならないので結局
x=-1以外のとこでは
１度だけ通過する⇔D=0⇔円の周上
の同値関係が成立するのでD=0となるとこだけもとめりゃいいようになってる。
けどそれを厳密にキチンと証明しだしたら結構メンドイと思う。そんなことするぐらいなら
普通に模範解答どうりしたほうがはやい。
0384１３２人目の素数さん
2005/09/21(水) 20:46:280385１３２人目の素数さん
2005/09/21(水) 20:48:25レスをありがとうございます．
−π＜θ＜πで，
（１）t＝tan(θ/2)が重解（唯一）
（２）接点(cosθ,sinθ)が唯一
（３）(x，y)は円周上の点（x≠−1）
これが同値な条件ということでしょうか？
0386１３２人目の素数さん
2005/09/21(水) 20:57:39俺のとなりで教授が怒ってる
0387１３２人目の素数さん
2005/09/21(水) 21:05:34そう。
0388１３２人目の素数さん
2005/09/21(水) 21:09:03ありがとうございました．
0389１３２人目の素数さん
2005/09/21(水) 21:37:080390１３２人目の素数さん
2005/09/21(水) 21:42:02どうして内積でCOSをかけるのかわかったら教えてほしいです。
0391１３２人目の素数さん
2005/09/21(水) 21:45:57ほんとうはノルムを定義するだけだから、なんでもいいのです
0392１３２人目の素数さん
2005/09/21(水) 21:53:430393１３２人目の素数さん
2005/09/21(水) 21:58:430394１３２人目の素数さん
2005/09/21(水) 22:08:130395１３２人目の素数さん
2005/09/21(水) 22:10:130396１３２人目の素数さん
2005/09/21(水) 22:13:240397１３２人目の素数さん
2005/09/21(水) 22:17:066人が円卓に座るときの並びは何通りあるかという問題でした。
解説お願いします。
0398１３２人目の素数さん
2005/09/21(水) 22:18:50つ[教科書]
0399１３２人目の素数さん
2005/09/21(水) 22:18:566P5=6*5*4*3*2
6P4=6*5*4*3
6P3=6*5*4
6P2=6*5
6P1=6
0400１３２人目の素数さん
2005/09/21(水) 22:20:050401１３２人目の素数さん
2005/09/21(水) 22:21:11すいません、教科書を学校に忘れてしまいまして…
>399
すいません、円順列でしたm(__)m
0402１３２人目の素数さん
2005/09/21(水) 22:22:42いまいちというかさっぱりかも；
0403１３２人目の素数さん
2005/09/21(水) 22:23:51ありがとうございます！
よければ何故6人なのに5P5になるのかも解説してもらえないでしょうか？
0404１３２人目の素数さん
2005/09/21(水) 22:38:01（０時、２時、４時、６時、８時、１０時）の位置に
Ａ，Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆが座る組み合わせなんだな・・・
単純にいけば
０時、６通り
２時、５通り
４時、４通り
６時、３通り
８時、２通り
１０時、１通り
で６*５*４*３*２*１＝７２０通り
なんだが、例えば
（０時、２時、４時、６時、８時、１０時）＝（Ａ，Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ）
の位置に座ったとしよう。これは
（Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ａ）も円状に並べたら同じと言う事にきづいて欲しい。
同様に（Ａ，Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ）
＝（Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ａ）
＝（Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ａ、Ｂ）
＝（Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ａ、Ｂ、Ｃ、）
＝（Ｅ、Ｆ、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ）
＝（Ｆ、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｆ）
で６回分重複して数えてるんだよ。
だから
７２０/６＝１２０通りが答になる。
もっとも、誰か一人固定して後の５人並べる組み合わせと考えたほうが早いんだけどね。
0405１３２人目の素数さん
2005/09/21(水) 22:56:49わかりやすい解説ありがとうございました！
なんだかこんな真面目なスレがたくさんある数学板と出会ったことに少し感動しちゃってますっ！
0406１３２人目の素数さん
2005/09/22(木) 00:46:24ホント？
0407１３２人目の素数さん
2005/09/22(木) 01:21:23力Fで、距離Lだけ引っ張った時のエネルギーは？
Fの方向とLの方向が一致してれば、E=FLだが、
角度θがついてたとしたら、E=FLcosθになるだろ？
これが、内積の定義の発想。
0408１３２人目の素数さん
2005/09/22(木) 07:35:18どういう流れで出てきたか不明だけど、「テンソルは行列」と言ってしまうのはよろしくないと思う。
むしろ「行列=線形変換がテンソルの一種」と言うべき。
0410GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
2005/09/22(木) 09:43:29これについては三次関数の、単調であるか、三つの単調な部分に分けられるかのいずれかであるという性質を考えれば十分であろう。
このことを見るには、
ax^3+bxの挙動だけ調べればよい。
b/aが0または正の場合は単調であることは明らかであり、
b/aが負のとき、
x^3-3xのケースだけを調べればよく、
x^3-3x=(x+1)^2(x-2)+2=(x-1)^2(x+2)-2から、
あとはx^3-3xの-1≤x≤1の部分が単調減少であることを示せばよい。
これについては、-1≤w0;x≤1のとき、
w^3-3w-x^3+3x=(w^2+wx+x^2-3)(w-x)>0であることからわかる。
0411GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
2005/09/22(木) 09:45:020412１３２人目の素数さん
2005/09/22(木) 10:15:22それとも俺の読解力が足らんのか？
0413１３２人目の素数さん
2005/09/22(木) 10:31:31という問題なんですが、
x=sinθとおくと
dx/dθ=cosθ
ここでxが-1→1のときθは3π/2→π/2
cosθ≧0より
√(1-x^2)
=√(1-sin^2θ)
=|cosθ|
=cosθ
よって
∫[-1,1]√(1-x^2)dx
=∫[3π/2,π/2](cosθ)(cosθ)dθ
=∫[3π/2,π/2]cos^2θdθ
=1/2∫[3π/2,π/2](1+cos2θ)dθ
=1/2(θ+1/2sin2θ)|_[x=3π/2,π/2]
=1/4{(π+sinπ)-(3π+sin3π)}
=1/4(-2π+sinπ-sin3π)
この先の計算なんかできるのでしょうか？
あと∫[-1,√3]√(4-x^2)dxなどの場合、x=2sinθとおいてx=-1を代入するとsinθ=-1/2ですよね？
するとθ=7π/6,11π/6のように２つ解がでてきてしまいどちらを使うのか全くわかりません。
何か勘違いしていると思うのですが、間違いがありましたらご指摘お願いします。
0414１３２人目の素数さん
2005/09/22(木) 10:44:44ここまでやったのならsinπ、sin3πぐらいは計算しなさいwww
>するとθ=7π/6,11π/6のように２つ解がでてきてしまいどちらを使うのか全くわかりません。
２つの解それぞれで一回計算して比べてみなされ。
そしたら、判るかも。
ちなみに、sinθ=-1/2の解は２つだけじゃないことも書いとく。
0415１３２人目の素数さん
2005/09/22(木) 15:38:560416１３２人目の素数さん
2005/09/22(木) 15:55:25http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/calcmulti/node35.html
↑の例題2.30の解説のとこがヒントになると思う。
手抜きスマソ。少なくとも俺はそういう風に理解してるが、間違ってたらごめんぽ。
0417１３２人目の素数さん
2005/09/22(木) 16:03:54吊ってくる
0418１３２人目の素数さん
2005/09/22(木) 17:09:29＞ここでxが-1→1のときθは3π/2→π/2
＞cosθ≧0より
ここではcosθ≦0だと思うが。
＞あと∫[-1,√3]√(4-x^2)dxなどの場合、x=2sinθとおいてx=-1を代入するとsinθ=-1/2ですよね？
＞するとθ=7π/6,11π/6のように２つ解がでてきてしまいどちらを使うのか全くわかりません。
どっちを使ってもいい。同じ答えになる。θ=･･･-5π/6.-π/6.7π/6,11π/6,･･･のどれ
つかってもいい。同じ答えになる。ただヘタにえらぶとcosθの符号がかわるから計算が
大変になるけど。
0419１３２人目の素数さん
2005/09/22(木) 18:46:33>>407嫁って
0420１３２人目の素数さん
2005/09/22(木) 22:08:500421１３２人目の素数さん
2005/09/22(木) 22:14:370422１３２人目の素数さん
2005/09/22(木) 22:18:570423１３２人目の素数さん
2005/09/22(木) 22:22:170424１３２人目の素数さん
2005/09/22(木) 22:32:53sin2θ＝？
cos2θ＝？
こたえ、sin2θ＝ 2m / ( 1+m^2 )
cos2θ＝ ( 1-m^2 ) / ( 1+m^2 )
という問題なのですが、途中式が分かりません。
よろしくお願いします。
0425１３２人目の素数さん
2005/09/22(木) 22:38:57=2(sinθ/cosθ)/(cosθ)^2
=2tanθ/(1+(tanθ)^2)
cos2θ＝(cosθ)^2-(sinθ)^2
=(1-(tanθ)^2)(cosθ)^2
=(1-(tanθ)^2)/(1+(tanθ)^2)
0426425
2005/09/22(木) 22:40:21sin2θ＝2sinθcosθ
=2(sinθ/cosθ)*(cosθ)^2
=2tanθ/(1+(tanθ)^2)
cos2θ＝(cosθ)^2-(sinθ)^2
=(1-(tanθ)^2)*(cosθ)^2
=(1-(tanθ)^2)/(1+(tanθ)^2)
0427425
2005/09/22(木) 22:45:04(cosθ)^2で割って
1+(tanθ)^2=1/(cosθ)^2
も使う
0428１３２人目の素数さん
2005/09/22(木) 22:47:39先制点や序盤の比重が高まり、先行逃げ切り型が有利になるな。
スレ違いsage
0429１３２人目の素数さん
2005/09/22(木) 22:47:56sin2θ＝？
cos2θ＝？
tan^2+1=cos^-2=((e^ix+e-ix)/2)^2
sin2t=(e^2it-e^-2it)/2i
...
0430424
2005/09/22(木) 22:50:42なるほど！
ありがとうございました。
0431１３２人目の素数さん
2005/09/22(木) 22:58:20この問いの回答が、a+1≦2、a<2<a+1、2≦aの場合分けされているのですが、なぜa+1≦2のところに2が含まれているか分かりません。
この質問自体意味不明かもしれませんが、場合分けの仕方も教えていただけると嬉しいです。
よろしくお願いします。
0432１３２人目の素数さん
2005/09/22(木) 23:21:11軸がaとa+1の間にあるとき、a＜2＜a+1 ⇔ 1＜a＜2 では頂点が含まれるからf(2)、a≧2のときf(a)
とりあえずグラフを描いて「幅が1」のxの範囲をスライドさせて考えると分かりやすいとおもう。
0433１３２人目の素数さん
2005/09/23(金) 00:37:00a+1<2、a≦2≦a+1、2<a
で場合分けする。
a+1<2で最小値f(a+1)
a≦2≦a+1で最小値f(2)
2<aで最小値f(a)
結果はたいしてかわらん。
0434１３２人目の素数さん
2005/09/23(金) 00:44:03上の式の両辺を平方して、y²<x²+y²-2y+1
と式変形してるんですが、これって同値性が保たれるんでしょうか？
0435１３２人目の素数さん
2005/09/23(金) 01:01:15両辺が正なら問題ない
0436１３２人目の素数さん
2005/09/23(金) 03:14:30正確には
両辺が正「だから」問題ない
だろうな。
0437１３２人目の素数さん
2005/09/23(金) 04:35:07座標から三角形ＡＢＣの形を具体的に決定する時の条件はなにか
点の座標 からの問題で実際には数値がある問題なのですが、
このカテゴリーでの正三角形以外の決定条件がわかりません。
0438１３２人目の素数さん
2005/09/23(金) 04:40:12三辺の長さだろ、フツー。
で、わかった長さをじーっと眺めれば
場合によっては
直角があるかも、と思いついたりするな。
0439１３２人目の素数さん
2005/09/23(金) 04:41:06二等辺とか直角とかわかればいいってことなら、
各辺の長さを求めればいいが
2辺が等しければ二等辺、三平方が成り立てば直角、
1：1：√2で直角二等辺
数値があればもっと楽な方法があることもある
0440１３２人目の素数さん
2005/09/23(金) 05:46:193辺の長さの2乗の大小関係だろ。
0441１３２人目の素数さん
2005/09/23(金) 11:31:170442１３２人目の素数さん
2005/09/23(金) 11:59:350443１３２人目の素数さん
2005/09/23(金) 12:01:050444１３２人目の素数さん
2005/09/23(金) 12:29:170445１３２人目の素数さん
2005/09/23(金) 15:34:520446中大兄皇子
2005/09/23(金) 16:08:33直線L1：x-1/3=y+2/4=z+3/(-5)
直線L2：x+1/3=y/4=z-1/(-5)
この問題で三点を定義して求める事はできたのですが、別解はないでしょうか？
宜しくお願いしますm(__)m
0447１３２人目の素数さん
2005/09/23(金) 16:25:00それでいいんじゃないの？
A(1,-2,-3)B(-1,0,1)を通るのは見ただけで分かるんだから使った方がいいだろうし
あと一点適当に取るか
直線の方向ベクトルとAB↑使うか、、
0448中大兄皇子
2005/09/23(金) 16:35:04レスありがとう御座います。
すみません。私大変勉強不足な者で。
方向ベクトルAB↑を使った解答を教えてもらいたいのですが・・・
0449１３２人目の素数さん
2005/09/23(金) 16:50:27問題を
直線L1：(x-1)/3=(y+2)/4=(z+3)/(-5)
直線L2：(x+1)/3=y/4=(z-1)/(-5)
と解釈した上でだけど
AとBってのはA(1,-2,-3)B(-1,0,1)のことな（勝手に名前付けたけど
AB↑=(-2,2,4)
直線L1の方向ベクトルc↑とするとc↑=（1,4,-5)とおける。
求める平面上の点の位置ベクトルをp↑=(x,y,z)とおくと
媒介変数s,tを用いて
p↑=OA↑+sAB↑+tc↑とあらわせる
(x,y,z)=(1-2s+t,-2+2s+4t,-3+4s-5t)からs,t消去する
たいして手間はかわらんぞ
0450１３２人目の素数さん
2005/09/23(金) 17:06:34(x,y,z)=(-1,0,1)からkをもとめる。
0451１３２人目の素数さん
2005/09/23(金) 17:30:16cosKLと書かれていたら一般的にはcosK＊Ｌと計算しますか？
それともcos（Ｋ＊Ｌ）ですか？
0452１３２人目の素数さん
2005/09/23(金) 17:37:32そのとき次第だろ
cosπxを-xと解釈する奴はまずいないし
cosxsinxをcos(xsinx)と解釈することはまずない
でもできるならばcosK＊ＬはLcosKとかくのがマナー
0453１３２人目の素数さん
2005/09/23(金) 18:36:07cos（3x）-cos（x）=0
コレお願いします。
0454１３２人目の素数さん
2005/09/23(金) 18:42:34cos3x-cosx
=-sin((3x-x)/2)sin((3x+x)/2)
=-sin(x)sin(2x)=0
⇔2x=nπ (n;整数)
⇔x=nπ/2 (n;整数)
∴cos3x-cosx＆0≦ｘ<2π⇔x=0,π/2,π,3π/2
0455１３２人目の素数さん
2005/09/23(金) 18:54:06ちょっと面倒だけど加法定理使っても出来る
cos3x-cosx
=cos(2x+x)-cosx
=cos2x･cosx-sin2x･sinx-cosx
=cos^3x-3sin^2x･cosx-cosx
=4cos^3(x)-4cosx
=4cosx(cosx+1)(cosx-1)=0
∴cosx=±1,0
∴x=0,π/2,π,3π/2(0≦x＜2π
0456１３２人目の素数さん
2005/09/23(金) 19:03:390≦ｘ<2π のとき次の不等式を解け
cos（3x）-cos（x）=0
不等式?
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