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【sin】高校生のための数学の質問スレPART38【cos】

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0001１３２人目の素数さん2005/09/17(土) 18:22:51
夜､明日提出の宿題をやっているとき

(･∀･)やった!あと1問!
・
・
(ﾟДﾟ)ﾎﾟｶｰﾝ
(ﾟДﾟ)ﾊｧ?ﾅﾆｺﾉﾓﾝﾀﾞｲ?
ヽ(`Д´)ﾉｳﾜｧｧﾝ!!ﾜｶﾝﾅｲﾖｫ!!!

･･･てな時に､頼りになる質問スレです｡

・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
　　（× x+1/x+2　；　 ○((x+1)/(x+2)) ）
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。
　　（トリップの付け方は自分で探すこと）
・質問者はあらゆる回答者に敬意を表しましょう。（荒らしはスルーでおながい）
・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。
　　（問題の途中だけとか説明なく習慣的でない記号を使うとかはやめてね）
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。それがない場合、放置されることがあります。

数学＠2ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
ttp://members.at.infoseek.co.jp/mathmathmath/
す

前スレ
【sin】高校生のための数学の質問スレPART37【cos】
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1125926417/
0002１３２人目の素数さん2005/09/17(土) 18:23:44
1
0003１３２人目の素数さん2005/09/17(土) 18:24:33
数式の書き方（参考）
●スカラー：a,b,...,z, A,...,Z, α,β,...,ω, Α,Β,...,Ω,...（「ぎりしゃ」「あるふぁ〜おめが」で変換）
●ベクトル：V=[v1,v2,...], |V>,V↑,vector(V) （混同しないならスカラーの記号でいい。通常は縦ベクトル）
●テンソル：T^[i,j,k...]_[p,q,r,...], T[i,j,k,...;p,q,r,...]　　（上下付き１成分表示）
●行列　　M[i,j], I[i,j]=δ_[i,j]　　M=[[M[1,1],M[2,1],...],[M[1,2],M[2,2],...],...], I=[[1,0,0,...],[0,1,0,...],...]
（右は全成分表示。行または列ごとに表示する。例：M=[[1,-1],[3,2]]）
●転置行列・随伴行列：M ',tM, M†（"†"は「きごう」で変換可）　●行列式・トレース：|A|=det(A), tr(A)

●複号：a±b（"±"は「きごう」で変換可）
●内積・外積・３重積：a・b, a×b, a・(b×c)=(a×b)・c=det([a,b,c]), a×(b×c)
●関数・数列：f(x), f[x]　a(n), a[n], a_n
●平方根：√(a+b)=(a+b)^(1/2)=sqrt(a+b) （"√"は「るーと」で変換可）
●指数関数・対数関数：exp(x+y)=e^(x+y)　ln(x/2)=log[e](x/2)（exp(x)はeのx乗、lnは自然対数）
●三角比：sin(a), cos(x+y), tan(x/2)
●絶対値：|x|　　●共役複素数：z~　●ガウス記号：[x] （関数の変数表示と混同しないよう注意）
●階乗：n!=n*(n-1)*(n-2)*...*2*1, n!!=n*(n-2)*(n-4)*...
●順列・組合せ：P[n,k]=nPk, C[n,k]=nCk, Π[n,k]=nΠk, H[n,k]=nHk （"Π"は「ぱい」で変換可）
●微分・偏微分：dy/dx=y', ∂y/∂x=y_x （"∂"は「きごう」で変換可）
●ベクトル微分：∇f=grad(f), ∇・A=div(A)，∇ｘA=rot(A), (∇^2)f=Δf
（"∇"は「きごう」，"Δ"は「でるた」で変換可．）
●積分：∫[0,1]f(x)dx=F(x)|_[x=0,1], ∫[y=0,x]f(x,y)dy, ∬[D]f(x,y)dxdy, ∬[C]f(r)dl
（"∫"は「いんてぐらる」，"∬"は「きごう」で変換可）
●数列和・数列積：Σ[k=1,n]a(k), Π[k=1,n]a(k) （"Σ"は「しぐま」，"Π"は「ぱい」で変換可）
●極限：lim[x→∞]f(x) （"∞"は「むげんだい」で変換可）
●図形："△"は「さんかく」 "∠"は「かく」 "⊥"は「すいちょく」 "≡"は「ごうどう」 "∽"は「きごう」
●論理・集合："⇔⇒∀∃∧∨¬∈∋⊆⊇⊂⊃∪∩"は「きごう」で変換
●等号・不等号："≠≒＜＞≦≧≪≫"は「きごう」で変換
0004１３２人目の素数さん2005/09/17(土) 20:05:01
>>1乙〜
0005１３２人目の素数さん2005/09/17(土) 20:13:25
スレ盾乙>>1
0006１３２人目の素数さん2005/09/17(土) 21:56:20
>>1乙です。
早速質問なんですが、関数の二階微分の記号を、dx/dyのようなdxを使った形で形で表すとどうなるのでしょうか。
f'(x)ならばf''(x)と、ダッシュを増やしていけばよいとわかるのですが…。
よろしくお願いします！
0007１３２人目の素数さん2005/09/17(土) 21:57:43
d^2x/dy^2
とかじゃなかった？>>6
0008GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w 2005/09/17(土) 21:58:52
$\frac{d^2y}{dx^2}$
の形を誰か作って[>>6]に渡してくれ。
0009１３２人目の素数さん2005/09/17(土) 22:02:46
　2
ｄ　ｘ
--------
　　2
ｄｙ
>>6
0010１３２人目の素数さん2005/09/17(土) 22:18:19
>>6
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86#.E9.AB.98.E9.9A.8E.E5.BE.AE.E5.88.86
0011１３２人目の素数さん2005/09/17(土) 22:20:34
|a|<1,|b|<1,|c|<1のとき、次の不等式が成り立つことを示しなさい。
abc+2>a+b+c

この問の誘導問題のab+1>a+bというのは示せたのですが、これをうまく利用して証明できません。
おねがいします。
0012１３２人目の素数さん2005/09/17(土) 22:21:46
b=bc
b=b+cとかで変換できね？
0013１３２人目の素数さん2005/09/17(土) 22:25:18
>>11
abc+2 > ab+c+1 (∵|ab|<1,|c|<1)
　　　　> a+b+c
0014１３２人目の素数さん2005/09/17(土) 22:41:30
abc+2 > ab+c+1 (∵|ab|<1,|c|<1) をもっと細かく証明出来ますか・・・？

ab+c+1> a+b+cはわかったのですが・・・。
0015１３２人目の素数さん2005/09/17(土) 22:44:52
abc+2 = (ab・c+1)+1 > (ab+c)+1
0016１３２人目の素数さん2005/09/17(土) 22:48:23
＞abc+2 > ab+c+1 (∵|ab|<1,|c|<1) をもっと細かく証明出来ますか・・・？
Xc+1>X+c　と書けば自分で考えることができるのか？
0017１３２人目の素数さん2005/09/17(土) 22:56:29
Xc+1>X+c　でわかりました。
本当にありがとうございました、たすかりますた
0018１３２人目の素数さん2005/09/17(土) 22:59:29
はい、助けてやりました。
0019１３２人目の素数さん2005/09/17(土) 23:09:03
y=|x|は微分可能ですか？
0020１３２人目の素数さん2005/09/17(土) 23:10:05
>>19
x≠0では微分可能、x=0で微分可能でない。
0021１３２人目の素数さん2005/09/17(土) 23:12:59
>>19
可能でありません。というのは，x=0で，微分係数が１つでは
ないからです。
　ｘ＞０　⇒　ｙ＝ｘ　⇒　ｙ’＝１
　ｘ＜０　⇒　ｙ＝−ｘ⇒　ｙ’＝−１　
一致しません。

ｘ＝ｄで微分可能　
⇔　
１．ｘ＝ｄで連続
２．ｘ＝ｄで微分係数が１つである
0022１３２人目の素数さん2005/09/17(土) 23:14:32
>>20-21
ありがとうございます。
0023１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 10:18:40
質問です。
定積分∫[0､a]√{a^(2)-x^(2)}dxを求めよ。ただしa>0とする。
<解>
区間0≦θ≦π/2においてx=a･sinθとおけば…
とあるのですが、区間0≦θ≦π/2はどこからきたのですか？教えて下さい。
0024１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 10:20:28
＞を半角にしてしまい、アンカーになってしまったので訂正して書き直します。すみませんでした。
質問です。
定積分∫[0､a]√{a^(2)-x^(2)}dxを求めよ。ただしa＞0とする。
<解>
区間0≦θ≦π/2においてx=a･sinθとおけば…
とあるのですが、区間0≦θ≦π/2はどこからきたのですか？教えて下さい。
0025１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 10:30:31
>>24
xが
0→a
なんだから、それに対応するθが
0→π/2
ってだけのこと。
簡単に解こうとするとθについての方程式
0=a・sinθ
と
a=a・sinθ
の解を求めるってこと。


・・・・・あってるのかな？初書き込みで緊張です・・・
0026１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 10:38:45
(◔ิД◔ิ)
0027１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 11:10:43
>>25
ありがとうございました
。゜・(ノД`)・゜。
わかりました!
0028１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 11:17:17
すいません、今の解き方だといまいちわからない問題があったので質問させてくださいm(_ _)m
∫[0､1]1/(1+x^2)を求めよ。
<解>
区間-π/2＜θ＜π/2においてx=tanθと置けば…
とあるのですが、この場合、1=tanxを解くとπ/4になるのですが…。
0029１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 11:32:12
∫[0､π/4]1/(1+tanθ^2)
と変形して、すすめればいいのでは？
0030１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 11:39:35
初めて書き込むのですが、すみません。教えて下さい。
三角形の高さの求め方がわからないのですが。
お願いします！
0031１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 11:42:24
>>30
いろいろ方法ある
0032１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 11:48:22
高校3年のレベルだと、どんな方法がよいのでしょうか？
0033１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 11:50:15
>>28
区間・・・においてってのは、tan(π/2)、tan(-2/π)は定義されないので、θの範囲を-π/2＜θ＜π/2で考えるてことじゃないかな？その時に、0≦x≦1に対応するのが0≦θ≦π/4になるから>>29さんの式になります。
0034１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 11:51:59
>>28
区間-π/2＜θ＜π/2においてx=tanθと置けば…

っていうのはx=tanθは周期関数。-π/2＜θ＜π/2と言う条件加えないと例えば
x=0,1⇒θ=0,π/4+nπ　(n:整数)
∫[0､1]1/(1+x^2)
=∫[0,π/4+nπ](1/(1+(tanθ)^2))(cosθ)^2dθ
=π/4+nπ
ってなことになる。何がおかしいかは考えて。
0035１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 11:53:43
>>29>>33
ていねいな回答ありがとうございました!
とても助かりました。ありがとうございますm(_ _)m
0036１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 12:02:35
あいまいな質問には
あいまいか、いい加減な答しか出来ません。

2*面積/底辺
0037１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 12:11:06
すみません、ありがとうございました！
0038前スレ8652005/09/18(日) 12:52:51
すみません。どなたか教えてください。
a, b, c は素数とする。
不等式　a< b< c< a+5 をみたす組　(a, b, c)
をすべて求めよ。
0039１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 12:57:30
素数は奇数だから，a=奇数，a+5=偶数
a=奇数，a+1,a+2,a+3,a+4,a+5=偶数
素数b,cは，a+1,a+2,a+3,a+4のどれか。
すると，a=奇数，a+1=偶数，a+3=偶数なので，自然と
b=a+2 < c=a+4 となります。
0040１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 13:00:45
素数を小さい方から順に並べた数列の一般項って求まりますか？
0041１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 13:03:32
>>40
それが求まりゃフィールズ賞ものだと思う
0042１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 13:03:34
>>39
１って素数でしたっけ？？
ほんとすみません…
0043412005/09/18(日) 13:07:10
>>42
>>39は間違ってるよ。見ない方がいい。
0044１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 13:11:28
>>43
あ、やっぱりそうなのですか？
どうもなんだか違う気がしてたのですが…
私的には
(1,3,5)(3,5,7)しかないと思うんですが
なぜそうなるのか式がでてきません…
ほんとバカですみません
0045１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 13:12:22
ちなみに、1は素数じゃない
0046412005/09/18(日) 13:14:33
>>44
ごめんなさい、ちょっとトゲトゲしい言い方になってた。
> 素数は奇数だから，a=奇数
実は、この時点で唖然としたから、後は読んでないんだ。
基本的な考えは合ってるのかもしれない。
0047442005/09/18(日) 13:15:31
あ、すみません。
(2,3,5)(3,5,7)です。
0048１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 13:26:48
a=2n-1, b=a+2=2n+1=(a+c)/2=(4n+2)/2, c=a+4=2n+3

(a,b,c)=(3,5,7),

が答えでしょう。
0049１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 13:27:42
−３±√７って素数ですか？
0050１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 13:28:39
そして（2,3,5）です。
素数で2以外の偶数の素数はないんだから・・・、
という事なんですが。
0051１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 13:30:19
>>40
そのような公式はない事が証明されていたと思うよ。
0052１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 13:38:57
>>49
素数ではありません。
0053どなたかわかる方居ましたら教えてくださいm(__)m2005/09/18(日) 15:29:57
αが第４象限の角でtanα＝0.6のとき,sinα,cosα,tanαの値を求めよ
0054１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 15:32:05
>>53
tan(α/2)=0.6とかの間違い？
0055532005/09/18(日) 15:35:43
訂正ですm(__)m


tanα＝-0.6でした(>_<)
0056１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 15:38:10
>>55
1+tan^2α=1/cos^2α
cosα>0
sinα=cosα*tanα
tanαは分かってるんじゃないのか？
0057すみませんm(;▽;)m2005/09/18(日) 15:42:02
αが第４象限の角で,tanα＝-0.6のとき､sin2α,cos2α,tan2αの値を求めよ｡

の間違いでしたm(__)m
0058１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 15:48:00
>>57
>>56の方法でsinα,cosαを求めて倍角公式を使う
もっとも下のような公式もあることはある（まあ三角関数の習いはじめとかなら使わないほうがいい）
tanα=tとおくと
sin2α=2t/(1+t^2)
cos2α=(1-t^2)/(1+t^2)
tan2α=2t/(1-t^2)
0059１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 15:49:02
中への写像って何？
0060532005/09/18(日) 15:52:35
ありがとうございますm(;▽;)m公式使って自力で解いてみます！
0061１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 16:11:49
(◔ิД◔ิ)
0062１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 16:16:01
>>61
なんかおもしろい
0063１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 16:26:19
中への射精なら知ってる。
0064１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 16:41:13
点P(x,y)がx=(2-2t)/(t^2+1),y=(2t+2)/(t^2+1)を満たして動くとき、Pの軌跡を求めよ
という問題なんですが

x^2+y^2={(4t^2-8t+4)/(t^2+1)^2}+{(4t^2+8t+4)/(t^2+1)^2}
　　　　　=8(t^2+1)/(t^2+1)^2
　　　　　=8/(t^2+1)
　　　　　=2(x+y)
と変形して、
円(x-1)^2+(y-1)^2=2
となるまではいいのですが、(0,0)を除くというのはどうやって求めればいいのでしょうか。
どなたかお願いします。
0065１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 16:52:12
xをyで割れ
0066１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 17:01:40
>>65
x/y=(-t+1)/(t+1)の分母と分子がともに0となることは無い
ってことでいいんでしょうか?
0067１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 17:02:41
>>64
(1+t^2)(x+y)=4とか
0068１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 17:09:05
x,y≧0という訳ではない。
0069１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 17:10:38
>>68
意味が分からない
0070１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 17:14:30
x+y=4/(t^2+1)>0
除くだけならだが・・・
0071642005/09/18(日) 17:31:16
>>67
そこからx+y≠0ともっていって
円と直線x+y=0の交点を除けば良いんですね。

皆さんありがとうございました。
0072１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 18:18:09
>>19-21
f(x) = |x| とすると
f'(x) = 2H(x) - 1

じゃなかった？
0073１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 19:22:03
質問です。

曲線y=x^3＋3x^2＋6x−10上の点における接線のうち、傾きが最小の接線lは、
この曲線と接点以外に共有点をもたないことを示せ。

お願いします。
0074１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 19:28:03
求めておわり
0075７３2005/09/18(日) 19:34:07
仮の接点をおいて、接線を求めろってことですよね。
でも途中で計算が詰まってしまって、前にすすめないのは・・・
やっぱり私の計算力が足りないからでしょうかね。。。。
0076１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 19:35:08
x^3＋3x^2＋6x−10-(3x-11)=(x+1)^3
0077１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 19:39:42
>>75
まあ、対称点なことを利用して、予測できる
0078７３2005/09/18(日) 19:40:02
3x−11はどうやったらでてきますか？
0079１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 19:41:42
「傾きが最小の接線」
0080１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 19:45:07
BASEBALLの8文字から4文字を取り出すとき、その組合せおよび順列の総数を求めよ。

お願いします。
0081１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 19:45:49
>>73
接点のx座標をtとすると、接線の方程式は
y=(3t^2+6t+6)(x-t)+t^3+3t^2+6t-10
傾き＝3(t^2+2t+2)=3{(t+1)^2+1}
傾きの最小値は　3 (t=-1)
0082７３2005/09/18(日) 19:48:59
わかりました。
答えてくださった方々ありがとうございました。
0083１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 19:54:03
２と４を比較したときに、
２＜４と言えるのは当たり前だけど
２≦４とも言えるんですか？
0084１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 19:55:25
言える
0085１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 19:56:20
x、yを変数とするとき、x^2-4xy+6y^2-12y+20の最小値は「　　」で
そのときのx,yの値はx=「　　」、y=「　　」である。
「　　」内の値を求めよ。

どなたかお願いします。
0086１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 20:01:24
>>80
BASEBALLの8文字から4文字を取り出す組み合わせを考える。
BASEBALL ・・・　B2個、A2個、S1個、E1個、L1個。

（1）4文字全部違うものを選ぶ（例:B-A-S-E）
　　　4文字の選び方は5通り、それの順列20通り
（2）（1）以外
　　（2-1）4文字のうち、同じ文字の組が2組ある（例：a-a-b-b）
　　　4文字の選び方は3通り、順列　4!/(2!*2!)*3=18通り
　　（2-2）4文字のうち、同じ文字の組が1組ある（例：a-a-s-e）
　　　4文字の選び方は12通り、順列　4!/2! * 12 =144通り
0087１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 20:04:48
>>85
x^2-4xy+6y^2-12y+20
=(x-2y)^2 +2*(y-3)^2 +2

x-2y=0かつy-3=0
すなわち
x=6、y=3のとき、最小値2
0088１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 20:10:52
>>86
Lは2個だろ
0089１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 20:17:28
>>72
H(x) ってなんだよｗ
0090１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 20:37:42
今ベクトルを勉強しているのですがベクトル方程式でつまりました
あの図の意味がよくわかりません
とういう風に考えればいいんでしょうか?
0091１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 20:41:05
>>90
具体的にどんな問題がわからないかを明示しろ。
0092１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 20:44:05
どれがわからないというかまず
http://o.pic.to/3f445
この図の意味がよくわからないのですが
0093１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 20:45:18
>>92
普通にOA+AP=OPという図だろう
0094１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 20:52:05
>>89
ヘビサイド関数だろ
>>72であってる
0095１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 20:53:31
このベクトルdとtdは何のことでしょうか?
0096１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 20:53:53
何が主眼か良くわからんが
Pの位置ベクトルpをp=a+tdと置くとPはdに平行な直線gを描く、じゃね？
0097１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 20:55:30
次の２つの集合Ａ,Ｂについて,Ａ=Ｂであることを証明せよ。(Ｚは整数全体)
Ａ={6x+9y|x∈Ｚ,∈Ｚ}，Ｂ={3n|n∈Ｚ}
という問題です。
で,Ａ⊂ＢとＢ⊂Ａを示せばよいとはわかるのですが,その後の証明がよくわかりません。
どなたかご回答お願いします。
0098１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 21:10:03
n,mは整数とする。
m^3n-mn^3は6の倍数であることを証明せよ。

連続する３整数の積にもっていくのでしょうか？画期的回答よろしくおねがいします。
0099１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 21:15:22
>>98
mが奇数、nが偶数
mが奇数、nも奇数
mが偶数、nも偶数
mが偶数、nが奇数

で場合分けすればいいんじゃないの？
0100１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 21:15:55
97さんへ
Ａ⊂Ｂは自明
Ｂ⊂Ａは6x+9yが3ｎになるように、例えばx＝-ｎ,y＝ｎなどを代入してＢ⊂Ａを導く
そうすればＡ＝Ｂ
0101１３２人目の素数さん2005/09/18(日) 21:20:45
＞＞99

それじゃ6の倍数の証明にならないですよ？
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