>>678
ｐが凸関数，０＜ｒ（ｘ），０＜∫ｒ（ｘ）ｄｘとする。
ａに対してｂが存在してｂ（ｙ−ａ）＋ｐ（ａ）≦ｐ（ｙ）。
ｙ＝ｑ（ｘ）を代入してｂ（ｑ（ｘ）−ａ）＋ｐ（ａ）≦ｐ（ｑ（ｘ））。
ｒ（ｘ）をかけてｘで積分して
ｂ（∫ｑ（ｘ）ｒ（ｘ）ｄｘ−ａ∫ｒ（ｘ）ｄｘ）＋ｐ（ａ）∫ｒ（ｘ）ｄｘ≦∫ｐ（ｑ（ｘ））ｒ（ｘ）ｄｘ。
ａ＝∫ｑ（ｘ）ｒ（ｘ）ｄｘ／∫ｒ（ｘ）ｄｘを代入して
ｐ（∫ｑ（ｘ）ｒ（ｘ）ｄｘ／∫ｒ（ｘ）ｄｘ）≦∫ｐ（ｑ（ｘ））ｒ（ｘ）ｄｘ／∫ｒ（ｘ）ｄｘ。

ｐ（ｙ）＝−ｌｏｇ（ｙ）。
ｑ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｅｘｐ（−ｘ）。
ｒ（ｘ）＝ｅｘｐ（ｘ）。
∫ｌｏｇ（ｆ（ｘ））ｅｘｐ（ｘ）ｄｘ≦１＋（ｅ−１）ｌｏｇ（∫ｆ（ｘ）ｄｘ／（ｅ−１））。