複素解析に関することです。

領域Ωから一点aを除いた領域でf(z)は解析的で
lim[z→a](z-a)f(z)=0
であるとき、中心aの円CをCとその内部がΩに含まれるようにとって
この円上でコーシーの積分公式（f(z)の積分表示）が適用できる理由がわかりません。
いいかえれば、コーシーの積分公式は閉曲線の内部で正則なことが条件ですが
内部に正則かどうかわからない点を含むときどうして上の極限の条件で
積分公式が適用できるのかわからないということです。

わかる方教えてくださいませ。