p.100

(2.19)
exp(i*x) = 1+ix/1! - x^2/2! - ix^3/3! + x^4/4! + ...

(2.19)により、

Re( exp(i*x) ) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...
Im( exp(i*x) ) = x/1! - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...

と、何の説明もなく導いていますが、なぜ厳密な議論をしないのでしょうか？

厳密な説明をするところとそうでないところが入り混じっていて気持ち悪いです。
かならずしも、重要なところは厳密に、そうでもないところは流して、
というわけでもありません。

例えば、上の例が出てくる、三角関数の定義はこの本でも特色のある部分で
たくさんページを使って基本的に厳密に展開されていると思いますがなぜそこ
だけ流すのか？

p.101 で、「sqrt(i) = (1+i)/sqrt(2) とおく」と書いてありますが、複素数の平方根
を定義するわけでもなく、ただ、「おいているだけ」です。

sqrt(i) の表示が使われるのは、

exp(Pi/4) = sqrt(i)

という式だけです。この式の見映えを良くするためだけのためです。全く意図が
よく分かりません。