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院試問題解きます 2005夏

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0001& ◆zcySyNotJk

2005/08/01(月) 20:24:15

皆さん，今年も院試のシーズンが来ました。筆記試験でできなかった
問題は口頭試問で突っ込まれます。筆記試験の問題をここにさらせば
時間を持て余した優しい人がきっと答えてくれるでしょう。これで
口頭試問もばっちりだ！！

なお，院試問題を優先するので高校生以下は別のところで質問して
くださいね♪

0002１３２人目の素数さん

2005/08/01(月) 20:28:13

２

0003１３２人目の素数さん

2005/08/01(月) 20:35:39

　・累乗　x^2=x*x（掛け算で×は使わない）・対数　log_[3](9)=2（底は3）
　　・積分　∫[x=1,3] (e^(x+3))dx　　　　　　　　・数列の和　　Σ[k=1,n]A(k)
　　・分数　(a+b)/(c+d)　（分子a+b､分母c+d）・ベクトル　AB↑　a↑

ローマ数字や丸付き数字などを避けて頂けると嬉しいです。
中高生の宿題スレではありません。

※累乗や分数などは誤解されぬよう括弧の多用をお願いします

また，どうしても入力困難な数式などはTeXフォームで入力するか
アップローダに画像を貼るかしてください。

それから，2006年（2005年試験実施ネ♪）院試問題でなくても
過去問をやっている人で分からないのがあればここで聞いてくれても
オッケー♪

それでは受験生の皆さんガンバッテ～

0004１３２人目の素数さん

2005/08/01(月) 20:42:02

何事も最初が肝心だぞ！
ここはロリコン数ヲタの溜まり場だ！
テンプレに工夫をしろ！

0005１３２人目の素数さん

2005/08/01(月) 20:43:39

　　,,／"　　　／　　　　　　　　　　　　､　　` ヾ､　　　　　　＿＿
,,／　　　　　 /" ,／　　　　　　　　　ヽ　､｀ヽ､-- ､ヽ､ r'"￣`'''￢ヽ
　　　　　　 /" /　　　 |　　　l､　l`ｰ､_ ヽ　＼＼ :|｀ヾl,>､　ヾ__,　　 |
　　　 /　 /　/　　　　/l　 j / `i.│ 　ヽ｀ヽヽ､､ヽ,| 　（｀ｰ､,ノ　　　|　　　　
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　　/ 　 / /' / /'/'/ ,/　'/　　　| ,'　　　　,>､ヽヽヽ｀､　　｀ｰ-､　　　　|　　　　何でも聞くがいい
　/　　 / / / ,// /`/,><　　　　},' 　　／　｀､l､ヽヽ |　　　　　 l　　　 | 　　　
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　　　 |:/l/ /_/'" 〃 |;;;;;;;｝　　　　　　 |;;;;;!　|　|　|/　　　　　　　 |　　　│
　　　 || |' ,/ } 　　｀ .ヾ;;ノ　　　　､　､`"　j　 !ノﾉ　　　　　　　　 |　　　　|
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0006１３２人目の素数さん

2005/08/01(月) 20:47:52

ちんちんはなんでくさいの？

0007お願いします。解いてください。

2005/08/01(月) 20:49:06

点Ｏを中心とする半径ルート３の円に正三角形ＡＢＣが内接。
辺ＡＢ,ＢＣ上にそれぞれ、点Ｍ，Ｎをとる。
ＡＭ＝ｘ　ＡＮ＝ｙとする。（ｘ＞ｙ）
三角形ＡＭＮ：ＡＢＣの面積比は１７：３６
このときｘｙ＝4分の17
では、ｘ＋ｙの値は？

0008１３２人目の素数さん

2005/08/01(月) 20:51:46

>>7
小学生はカエレ！

0009１３２人目の素数さん

2005/08/01(月) 20:56:50

センターですよ

0010１３２人目の素数さん

2005/08/01(月) 20:59:16

No.1の女の子の名前と学年ととってる科目は

0011１３２人目の素数さん

2005/08/01(月) 22:30:18

名前：剛田在庫
科目：保健・体育

0012１３２人目の素数さん

2005/08/02(火) 10:46:35

このスレを立てた者です。そういえば近年院試は激易化してるんだった。
9割or8割が面接に呼ばれるデフォルトですか？じゃあこのスレ必要ないっすね。
いずれにせよ，受験生のみなさんがんばってね。

0013& ◆Z2KySTSpOo

2005/08/04(木) 14:02:20

念のため上げます。

0014１３２人目の素数さん

2005/08/06(土) 11:49:47

院試問題で分からないのはここできいてちょ

0015　

2005/08/08(月) 16:28:58

積分形に拡張した形のコーシーシュワルツ不等式（ｘ、ｙ２次元）の
証明ができません。

0016１３２人目の素数さん

2005/08/08(月) 17:21:21

理系への数学で大学院入試問題の解説をしてたな。

0017１３２人目の素数さん

2005/08/08(月) 17:30:17

そこまで基本的な問題は教科書読んでね>>15

0018１３２人目の素数さん

2005/08/08(月) 17:33:40

崩れ博士・PD研究4 【コネのかたち・公募のかたち】
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1122038918/

0019１３２人目の素数さん

2005/08/08(月) 17:40:33

>>18
これから大学院に進学しようかという，このスレを見る人たちには厳しい
現実ですね。

0020　

2005/08/09(火) 17:43:04

>>19
ここって数学科行く場合の問題だけ？

0021１３２人目の素数さん

2005/08/09(火) 17:44:52

>>20
>>1は退屈してそうだから、数学の問題ならいいんじゃない？

0022　

2005/08/09(火) 18:34:29

>>1
７と15解いてやれよｗｗｗ

0023１３２人目の素数さん

2005/08/09(火) 19:30:06

学校のプリントなんですが自分は習っていないところなんでまったくわかんないんです。問題は・・・・６題あるんですけど・・・
１．グラフが次の条件を満たす2次関数を求めよ。
1.軸がx=-2で点（-3,4）を通り,x軸と接する。
2.2点（2,-5),(-1,-2)を通り,y切片が3。
3.x軸と2点（-1,0),(3,0)で交わり,点(1,-8)を通る。
4.3点(1,0),(-1,8),(4,3)を通る。
２．点(4,-1)を通り,y軸に平行な軸を持つ放物線を,x軸方向へ-5,y軸方向へ3だけ平行移動すると,頂点がx=-2の点でx軸に接するという。この放物線の方程式を求めよ。
３．次の関数の最大値・最小値を求めよ。
1．y=^{2}-3x+2 (-1≦x≦2)
2．y=-1/2x^{2}-x-3 (-3≦x≦1)
４．次の問いに答えよ。
1.2次関数y=3x^{2}+ax+bが,x=2のときに最小値７をとるような定数a,bの値を求めよ。
2.x=-1のとき最大値８をとり,x=-3のときy=5となる2次関数を求めよ。
3.2次関数y=ax^{2}+2ax+b(-2≦x≦1)の最大値が５,最小値が３であるような定数a,bの値を求めよ。ただし,a＞0とする。
５．2次関数y=x^{2}-2ax+2(0≦x≦2)の最大値と最小値を次の場合について求めよ。
1.1＜a＜2のとき　2.a≧2のとき
６．次の問いに答えよ。
1.x≧0,y≧0,3x+y=5のとき,x^{2}+y^{2}の最大値と最小値を求めよ。
2.x^{2}+y^{2}=1のときx^{2}+2yの最大値と最小値を求めよ。
ほんとうにどうやったらいいかわからないので解法と解答をおしえてください。お願いします。

0024１３２人目の素数さん

2005/08/09(火) 19:44:27

>>23
氏ね

0025１３２人目の素数さん

2005/08/09(火) 20:41:56

>>23
こんだけ入力してる暇があったら教科書読めよ。

0026１３２人目の素数さん

2005/08/09(火) 21:07:46

超まるちなんだが…

0027１３２人目の素数さん

2005/08/09(火) 21:46:39

このスレ、あぼーんしてもいい？いいよね？

00281

2005/08/09(火) 23:05:59

いいですよ。

0029　

2005/08/10(水) 03:32:33

結局１と投稿者が糞なのを証明しただけのスレだったな・・・

0030１３２人目の素数さん

2005/08/10(水) 14:07:03

ワークショップ「数学の将来シナリオを考える」開催報告
文部科学省　科学技術政策研究所　科学技術動向研究センター
http://www.nistep.go.jp/achiev/ftx/jpn/stfc/stt051j/0506_03_feature_articles/200506_ws03/200506_ws03.html

1．ワークショップの全体概要
2．数学研究の日本の現状
3．数学研究の将来展望
4．大学における数学研究の現状と将来像
5．産業界および他分野からの数学研究への期待
6．数学を基点とする分野横断型研究拠点へ向けて
7．質疑応答から
8．今後の展開

0031１３２人目の素数さん

2005/08/10(水) 22:24:33

　ｷﾀ━━━━(ﾟ∀≡┐┌≡∀ﾟ)━━━━!!!!
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0032１３２人目の素数さん

2005/08/10(水) 22:25:23

コネ無しＤ試受験者よ、お前はもう崩れているｗｗｗ

0033ふじわら

2005/08/10(水) 22:26:02

崩れてもいいさ。数学者だもの。

0034１３２人目の素数さん

2005/08/11(木) 16:27:55

この質問ここでいいのかな？
違ってたらごめんなさい。

線積分のことなんだけど、具体的にたとえば

C1　：　r(t) = ( t , 0 , 0 ) ( 3 <= t <= 3 )
C2　：　 r(t) = ( 3cos t , 3sin t , 0 ) ( 0 <= t <= π )

∫c a・dr　　　ただし　a = ( x^2 , y , -z )

の線積分で

∫c1 a・dr = 18

∫c1+c2 a・dr = 0 なんですけど、この出てきた１８とか、０って何を表してるんですか？

わかる人解説お願いします。

0035GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w

2005/08/11(木) 19:41:08

talk:>>34 線積分の値に決まっている。どの方向に関する線積分なのかは、この文面からではよく分からない。(いや、接線方向以外には考えられないが。)

0036１３２人目の素数さん

2005/08/11(木) 19:53:20

>>35 線積分の値に決まっている。どの方向に関する線積分なのかは、この文面からではよく分からない。(いや、接線方向以外には考えられないが。)

方向は指摘のとおり接線方向です。

線積分の値ってことは分かってますが、それが実際の現象ではどのことを指すのかを回答して欲しかったんですが。

0037１３２人目の素数さん

2005/08/11(木) 19:53:23

C1　：　r(t) = ( t , 0 , 0 ) ( 3 <= t <= 3 )
C2　：　 r(t) = ( 3cos t , 3sin t , 0 ) ( 0 <= t <= π )
a = ( x^2 , y , -z )

dr=(1,0,0)dt
a=(t^2,0,0)
a*dr=(t^2,0,0)*(1,0,0)dt=t^2dt=t^3/3 (-3->3)=9+9=18

∫c1 a・dr = 18

∫c1+c2 a・dr = 0

0038１３２人目の素数さん

2005/08/11(木) 19:59:47

∫c1+c2 a・dr = ∫c1 a・dr +∫c2 a・dr = 18+..

dr=(-3sint,3cost,0)dt
a=(9cost^2,3sint,0)
a*dr=(-27sintcost^2+9costsint)dt=9cost^3+4.5sint^2 (0->pai)
=-9-9=-18
18-18=0

0039１３２人目の素数さん

2005/08/11(木) 20:01:32

>>34
おまえは、ここ以外にもこんなに↓マルチして、
ttp://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1122914208/437
ttp://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1123198329/625
しかも丁寧に答えてもらっているのに、まだ何が聞きたいんだ？
つか、マルチしてんなら申告しろよ、失礼だろーが。

0040１３２人目の素数さん

2005/08/11(木) 20:01:44

グリーンの定理ってどういうこと？

サルでも分かるように教えてください。

0041１３２人目の素数さん

2005/08/11(木) 20:11:37

電気で使ってるよ

004234

2005/08/11(木) 20:12:39

>>37 >>38さん丁寧にありがとうございました。

>>39さんあなたの言うとおりです。
すいません。２ちゃん初心者なんで良く分かりませんでした。

回答してくれた方、ありがとうございました。

0043１３２人目の素数さん

2005/08/11(木) 20:15:37

>>40
微分形式をやればこの手の定理はサルでも分るんだが，微分形式自体が
なかなかサルには理解できないんだ。>>41みたいに物理に絡めるのが
いいんじゃないか？

0044１３２人目の素数さん

2005/08/11(木) 20:15:49

グリーン関数で偏微分特やつのこと？

0045１３２人目の素数さん

2005/08/11(木) 20:16:32

>>42
おまえもか！「２ちゃん初心者なんで」とか関係ないの。
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1123198329/659
の人もいってるけど、常識で考えたら多重投稿は駄目って思わないか？

004642

2005/08/11(木) 20:20:35

迷惑かけたから謝って回ってるんだけど、そういうこともだめなの？

0047１３２人目の素数さん

2005/08/11(木) 20:24:01

>>46
それはまあいいんじゃないか。
「>>レス番」の問題は解決しました。と一言添えてね。

0048１３２人目の素数さん

2005/08/11(木) 20:25:30

ビーブンケイシキ
df=fxdx+fydy+fzdz

0049１３２人目の素数さん

2005/08/11(木) 20:26:00

>>41 >>43さん回答ありがとうございます。

電気や物理で使われてるんですか？わかりました、ググッてみます。

>>44　そうです。連続な偏微分を持つならば・・・って書いてありました。

0050１３２人目の素数さん

2005/08/11(木) 20:29:17

>>49
具体的に何が知りたいのかわかんないけど、電気や物理と言わずに、
普通に「グリーンの定理」でぐぐってもわかりやすく書いてるトコ、あるじゃん。

0051１３２人目の素数さん

2005/08/11(木) 20:29:32

中学生ではフレミング
大学生では線積分

0052GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w

2005/08/11(木) 20:42:08

talk:>>36 力場で受ける仕事とか？

0053１３２人目の素数さん

2005/08/11(木) 20:54:29

テンソル解析なんか工学系のほうがよっぽどあたりまえにつかってるよ

0054１３２人目の素数さん

2005/08/11(木) 21:43:33

院試の数学質問なのですが、お力をお貸しください。

（１）　複素関数F（z）が単連結領域D内で正則であるとき、D内の任意の単純閉曲線Cに対して

　　　　　　　　　　　　　　　　∫c　F(z)dz = 0 (２．１)

が成立する。また、F(z)がD内および正方向に取られた単純閉曲線C上で正則であるとき、C内部の任意の点Zoに対して

　　　　　　　　　　　　　　　　∫c　F(z)/（z-zo）dz　= 2πiF（zo）　　　　　　（２．２）

が成立する。被積分関数F(z)/(z-zo)およびFig.2.1に示す経路に対して（２．１）式を適応することにより公式（２．２）を導け。

＿＿＿＿＿←＿＿＿＿
/ 　　　　　　　　　　　　 /
/ D 　 /
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　/ ______ 　 ↑
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｌ l l 　 /
C↓ l ｌ_____＿____ /
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 l ↑ ____＿_____
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　l　　　l______l　　　　　　/
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｌ　　　　　　　　　　　 /　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ―――→――――
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Fig.2.1

図がへたくそですいません。

（２）　f(z) =( ze^(iz) ) / ( z^2 + a^2 ) ( a > 0 ) とする。f(z)を部分分数を用いてｆ（ｚ）≡　ｆ1(z) + f2(z)の形に表すとき、f1(z), f2(z)を求めよ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

005554

2005/08/11(木) 21:45:05

はぅ！
図が変になってるorz

書き直します・・・orz

0056１３２人目の素数さん

2005/08/11(木) 22:01:46

　　　　　　　　＿＿＿＿＿←＿＿＿＿
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　/ 　　　　　　　　　　　　　　/
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　/ 　　　　　　　　　　D 　　　/
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　/ 　　　______＿　　　　　　　　/
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｌ　　　l 　　　　ｌ　　　　　　　/
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　C　↓ 　　　l 　　　　ｌ_____＿____/
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 l 　　　↑ 　　　　____＿_____
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　l　　　　ｌ______　l　　　　　　/
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｌ　　　　　　　　　　　　　　/　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ―――→―――――
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Fig.2.1

0057１３２人目の素数さん

2005/08/11(木) 22:03:15

教科書読めや

0058& ◆Jx3uuDAUoo

2005/08/11(木) 22:03:48

なんか(2)問題間違ってない？部分分数って何だ？
それから(1)は超有名定理（コーシーの定理だっけ？）でどの教科書に載ってる
ぞ。一応流れを言っとくとz0を中心に半径rの円を描いて
その周りをぐるっと積分する（z→θの変数変換で）。
それで(2.1)よりこの積分はrによらないことが言えるのでｒ→0とすると
答えが出る。詳しくは教科書見なはれ。

0059１３２人目の素数さん

2005/08/11(木) 22:08:19

教科書のってるの？

すんません。

0060１３２人目の素数さん

2005/08/11(木) 22:15:33

この簡単な問題…さてはお前がかの有名な多元受験生だな。

0061１３２人目の素数さん

2005/08/11(木) 22:15:43

ここで回答してあげてる人ってどういう人？

気になーる。

数学科の人？頭いい禿げおっさん？

0062１３２人目の素数さん

2005/08/11(木) 22:16:56

削除依頼は出てないのか。

006354

2005/08/11(木) 22:17:33

>>60多元受験生って何？

0064１３２人目の素数さん

2005/08/11(木) 22:18:06

>>61
どちらでもない。勝手に想像してくれ。

0065１３２人目の素数さん

2005/08/11(木) 22:19:14

>>63
知らぬならいいよ。受験がんばってな。

0066１３２人目の素数さん

2005/08/11(木) 22:25:01

多元受験生ってこれのことか？

名古屋大学大学院多元数理科学研究科・理学部数理学科

0067１３２人目の素数さん

2005/08/11(木) 22:31:19

そうだ。

0068１３２人目の素数さん

2005/08/11(木) 22:39:29

名古屋大学大学院でもバカにされるってことは相当な人たちがこのスレにはいるってことか。
バカにされるのにも納得です。

ここって、数学科受ける人が前提なの？
>>19 >>20でも言ってるけど。

バカな質問してもきつくおこんないであげてよ。

0069１３２人目の素数さん

2005/08/11(木) 22:45:29

>>68
院試は最近の大学生の学力低下でどこもすごく簡単になってきている。
名古屋大学の院試も昔は難しかったけれど今は期末試験並みになって
しまったとどこかのスレで話題になってた。

数学科受験じゃなくてもいいんじゃない？

0070１３２人目の素数さん

2005/08/11(木) 22:45:55

院試の試験勉強するのがそもそも馬鹿だ

0071１３２人目の素数さん

2005/08/11(木) 22:49:28

院試勉強しないやつのほうがキチガイだと思うけどな。

0072１３２人目の素数さん

2005/08/11(木) 22:50:13

>>70
それは言い過ぎだろ

0073１３２人目の素数さん

2005/08/11(木) 22:57:26

http://mathworld.wolfram.com/CauchyIntegralFormula.html

007454

2005/08/11(木) 23:12:35

>>73さん。ありがとうございます。

0075１３２人目の素数さん

2005/08/11(木) 23:21:14

あっさりf(z)をテイラーしたくなるけど。。。f=f^n(z0)(z-z0)^n/n!
f/(z-z0)dz=f(z0)/(z-z0)dz=f(z0)ie^it/e^itdt=2πif(z0)

0076１３２人目の素数さん

2005/08/11(木) 23:24:59

フーリエとかまともに出るのかな。。。レベル的には。

絶対、井戸ポテンシャルの量子関数を求めろとかなんて出ないんだろうね。。。

0077１３２人目の素数さん

2005/08/11(木) 23:28:11

f(z) =( ze^(iz) ) / ( z^2 + a^2 ) ( a > 0 )
=.5e^iz/(z+ai)+.5e^iz/(z-ai)

0078１３２人目の素数さん

2005/08/11(木) 23:31:23

せめて、多角形の熱方程式をコンフォーマルマッピングで解けとか
だしてやればいいのに

007954

2005/08/11(木) 23:40:39

>>75 >>77さんありがとうございます。

>>76　フーリエでますよ。フーリエって俺的には難問なんですけど
みなさんのレベルだと簡単なんですか・・・orz

井戸ポテンシャル？なんですか？orz
初めて聞きました・・。

このスレ削除したほうがいいって方がおられますが、俺的には消さないでほしいっす。
バカな俺にはみなさんの指導がすごくありがたいです。
あと、俺の大学はみんなこんな感じなんで、自分がそんな低いと思ってなかったんで、
これくらいサクサク解けないといけないってのが分かってよかったです。
勉強しないといけないなって思いました。そのこと知れただけでもここに書き込んでよかったです。

0080１３２人目の素数さん

2005/08/11(木) 23:51:38

>>54 は工学部？
数学といっても学部によって重心の置き場が違うしね。

008154

2005/08/11(木) 23:55:36

>>80　はい！工学部です。

0082１３２人目の素数さん

2005/08/12(金) 00:03:59

>>81
工学部だったら工学部の掲示板行って院試勉強したほうがいいかも。
ここだと工学部には必要ないアドバイスまで受けて混乱するかもよ。
読む教科書だって数学科と違うはずやし。

008354

2005/08/12(金) 00:13:48

>>81　工学板も行ったんですけど、院試の質問スレとか、問題回答スレが無くてここにきたのですが、
みなさんがよかったらここで質問したいのですが・・・。

俺は計算して答えが合ってても、現象と一致させないと気がすまないたちで、そういう点で数学について詳しい
みなさんのレスは具体性があって参考になるので、混乱はいまのところ大丈夫です。

0084１３２人目の素数さん

2005/08/12(金) 00:19:27

>>54
分った。今のところお前しか質問してこないからこれはお前専用のスレ
になるかも。好きなだけ利用してくれ。あと何か質問したときはageに
してくれないと誰にも気づいてもらえないかも。

俺は眠いから今日はもう寝る。また明日。

008554

2005/08/12(金) 00:49:56

>>84さん　ありがとうございます。ありがたく質問させてもらいます。
　　　　　　　おやすみなさい。明日も数学勉強するときこさせてもらいます。
　　　　　　　ageちゃっていいんですか？では84さんの許可が出たのでageさせてもらいます。
　　　
　　　　　　もうみなさん寝るから、おいらは教えてもらったことの演習ひたすら解いて、そのあと流体の語句説明でも覚えておきます。
　　　　　
　　　　　今日はみなさんありがとうございました。ﾉｼ
　　　　　　　　

0086１３２人目の素数さん

2005/08/12(金) 01:39:31

ここは2chかもしれんが数学板なんだから
「ﾉｼ」←は止めろ
ｲﾗｲﾗする

008754

2005/08/12(金) 02:05:04

>>86　わかった

00881

2005/08/12(金) 02:05:48

>>86
そうですね、「ﾉｼ」は常軌を逸していると思います。

ここは学問板のひとつの数学板なので、ロリ全般、グロ全般
チンコマンコウンコ(･∀･)(´･ω･`)(´･∀･｀)は許可します。

008954

2005/08/12(金) 02:12:36

>>86 >>1さん　わかりました。２ちゃんならどこでも使っていいのかと思ってました。ごめんなさい(´･ω･`)
　

0090１３２人目の素数さん

2005/08/12(金) 08:59:59

>>88
偽者。

0091１３２人目の素数さん

2005/08/12(金) 23:00:37

だれかいませんか？

009254

2005/08/12(金) 23:12:55

Dirichlet積分として次の公式がある
　　　　　　　　　　　　　　　　0 　( a=0 )　　　　　　　　　　　　　　　　　-1　　( x < 0 )
∫{ (sin ak ) / k } dk = 　　　　　　　　　　　　　　　　，　sgn(x) =
　　　　　　　　　　　　　　　　sgn(a)π/2　（a≠0）　　　　　　　　　　　1　　 ( x > 0 )

http://mathworld.wolfram.com/Contour.html ←この図の真ん中の図がFig.3.1.です。
a > 0　のとき，複素関数（e^(iak)）/ｋ　をFig3.1.に沿って積分することにより，この公式が成立することを示せ。　

お願いします。

0093１３２人目の素数さん

2005/08/12(金) 23:15:25

解き方まで書いてあるのに、何が不満だ？

009454

2005/08/12(金) 23:37:04

>>93　どこに解き方が書いてあるの？(´･ω･`)
　　　　英語のサイトでしょうか？それとも問題自体が「この通りやれ！」ってことでそれが解き方ということですか？

0095１３２人目の素数さん

2005/08/12(金) 23:41:49

複素関数（e^(iak)）/ｋ　をFig3.1.に沿って積分することにより

0096１３２人目の素数さん

2005/08/13(土) 00:37:53

>>92
問題文にヒントがあるだろう。（e^(iak)）/ｋをFig.3.1の積分路で
積分してでかい方の半径を∞に，小さい方の半径を0に近づけると出る。
後は留数定理とsinのeでの表記。

0097１３２人目の素数さん

2005/08/13(土) 01:10:50

∫[0,∞](sinx/x)dx=π/2をだしたいなら>>54の問題文の誘導どうりやればいいんじゃないの？
留数定理を証明せよって部分はまあどうでもいいとして
f(z)=zexp(iz)/(z^2+a^2)を部分分数分解してres(ai,f)=exp(-a)/2だから
I(a)=∫[-∞,∞]f(z)dz=2πi･res(ai,f)=πiexp(-a)。∴lim[a→0]I(a)=π―(1)。
一方で∫[-∞,∞]f(z)dzでz→-zと置換するとI(a)=∫[∞,-∞]f(-z)(-dz)=-∫[-∞,∞]exp(-iz)/(z^2+a^2)dz
よって2I(a)=∫[-∞,∞]z(exp(iz)+exp(-iz))/(z^2+a^2)dz=2i∫[-∞,∞]zsinz/(z^2+a^2)dz。
よって単調収束定理からlim[a→0]I(a)=i∫[-∞,∞]sinz/zdz―(2)。
(1)(2)より∫[0,∞](sinx/x)dx=π/2。
>>54の誘導どうりにやれば原点を回避する路をとる必要はないはずだしそのために分母にaがついてると思う。
たぶん原点を回避する積分路をつかう解答もあるとおもうけどそれと>>54の誘導はなんか話があわんような。

009897

2005/08/13(土) 01:22:45

しまった。
　
＞よって単調収束定理からlim[a→0]I(a)=i∫[-∞,∞]sinz/zdz―(2)。
　
ここはも少し議論がいるね。大筋はあってるとおもうけど。

009997

2005/08/13(土) 01:35:14

･･･みなさま。>>97はなかったことに･･･思いちがいを･･･
誘導どおりやるやりかたわからん･･･Dirichlet積分自体は解析概論のP223-224に
のってるんだけど･･･もう>>56の誘導は無視して解析概論どうりにやるということで

010054

2005/08/13(土) 05:56:43

いつの間にか机で寝ていましたorz
質問しといてすみません。

おお！何てことだ！
俺が寝ている間にこんな丁寧な回答を教えていただいてありがとうございます、>>96さん>>97さん

特に>>97さんのやさしさに感激しました。ありがとうございます。

この問は、解決しました(･∀･)。

010154

2005/08/13(土) 05:58:40

>>93 >>95さんもありがとうございました。

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