x"(t)+2x'(t)+ax(t)=0 (a>0の定数)の一般解と
x(0)=x(1)=0を満たす自明でない解を持つときの
aの条件とx(t)を求めろという問題です

一般解は求まりましたが、aはどんな値でも成り立つとなってしまいます
x(0)=x(1)=0を一般解に代入するだけでないんでしょうか？

ちなみに一般解は
x(t)=C1exp{-1-sqrt(1-a)}t+C2exp{-1+sqrt(1-a)}t
となりました。(sqrtは√です)