arcsinx=∫[0,x]dx/√(1-x^2)と定義する流儀なら
arcsinx'=1/√(1-x^2)。∴(sinx)'=√(1-(sinx)^2)。
(sinx)''=-(sinx)'sinx/√(1-(sinx)^2)。∴(sinx)''=-sinx。
としてlimsinx/x=1より先にsinxのマクローリン展開をみちびくこともできなくもない。