>>404
極座標にすると、かえって難しい

0＜a＜d, b=a/d とする
I = ∫[0,a]dr ∫[0,2π]dθ r/(d+r*cos(θ))
= b∫[0,a]dr ∫[0,2π]dθ r/(a+br*cos(θ))

x = (1/a)r*cos(θ), y = (1/a)r*sin(θ)
とすれば、単位円盤上の積分になって

I = (a^2/d)∫[-1,1]dx ∫[-√(1-x^2),√(1-x^2)]dy 1/(1+bx)
= (2a^2/d)∫[-1,1]dx √(1-x^2)/(1+bx)

あとは上手い方法が他にありそうだけど、
x = 2t/(1+t^2) と無理矢理やると、有理関数の積分になる
√(1-x^2) = (1-t^2)/(1+t^2)
dx = {2(1+t^2) - 2t*2t}/(1+t^2)^2 dt = 2(1-t^2)/(1+t^2)^2 dt

I = (4a^2/d)∫[-1,1]dt (1-t^2)^2/{(1+t^2)^2(1+2bt+t^2)}