A(n)=3~n+2~n<10~10を満たす最大の正の整数nを求めよと言う数列の問題なんですが教えてください。

A(n)<10~10....(あ)
A(n)=3~n+2~n
(あ)を満たす最大のnについてA(n)<10~10≦A(n+1)....(い)
また
3~n<A(n)<3~n+3~n=2*3~n
3~n+1<A(n+1)<2*3~n+1

(い)より　3~n<A(n)<10~10≦A(n+1)<2*3~n+1....(う)
∴3~n<10~10<2*3~n+1....(え)
これで(え)にlogをとればnが出ると習ったのですが、
確かにnが出ても（う）におけるA(n)が10~10を超えない保障はあるんでしょうか？
A(n)の2~nのぶぶんで桁数が変わることもありそうに思えて仕方が無いんですが。
3~n<10~10<A(n)<A(n+1)<2*3~n+1 こんな状況は在り得ないでしょうか？
教えてください。