>>846
p,q を実数とする。
y=x^3-x上の点(p,p^3-p) における接線の式は、y=(3p^2-1)x-2p^3
y=x^2+a上の点(q,q^2+a) における接線の式は、y=2qx-q^2+a
この直線が一致するから、3p^2-1=2q ‥(1)、-2p^3=-q^2+a ‥(2)
(1)の両辺を2乗して(2)からqを消去すると、(3p^2-1)^2=4(2p^3+a)　⇔　9p^4-8p^3-6p^2+1-4a=0
ここで、y=f(x)=9x^4-8x^3-6x^2+1-4a とおくと、f'(x)=12x(x-1)(3x+1) より増減表から、
f(-1/3)=2(1-6a)/3 と f(1)=-4(1+a) が極小値、f(0)=1-4a が極大値になるから、
曲線y=f(x)とx軸との交点の個数を、グラフの概形からaの値で場合分けすると、
a＜-1で0、a=-1で1、-1＜a＜1/6で2、a=1/6で3、1/6＜a＜1/4で4、a=1/4で3、a＞1/4で2