偏微分方程式の無限拡散問題
∂/∂t(u(x,t))=α^2*∂^2/(∂x)^2{u(x,t)}
境界条件u(0,t)=A (0<t<∞)
初期条件u(x,0)=0 (0≦t<∞)

を、両辺をxについてFourier正弦変換し、tだけの微分方程式に帰着させ、
d/dt(U(t))+(ωα)^2U(t)=2Aωα^2/π
となり、これを解いてU(t)=2A(1-exp(-(ωα)^2t)/πω
となるのですが、U(t)の逆正弦変換
u(x,t)=2/π∫[0,∞]U(t)cos(ωx)dωに関して質問なのですが、

参考書には、u(x,t)=Fs^-1[U(t)]=A*erfc(x/2α√t)となっていて、何故か積分範囲に変数xが
入っているのですが、これはどのように導出したら宜しいのでしょうか？宜しくお願いします。