n 次元ユークリッド空間　と言ったら普通はn個の実数の直積にユークリッドノルムによる位相を入れた位相空間
n 次元実数ベクトル空間　はn個の実数の直積に加法と実数倍を定義してベクトル空間とみなしたもの

であってる？