バナタル読んだこと無い者なんですが、
こういうことでしょうか？
つまり、球を２つに切ると断面が現れて、断面積の分、表面積の合計は増えますよね？
で、その断面を厚さ0でスライスします（薄切り）
で、さっき切った球をまた切ります。
また断面が増えます。その断面を一枚だけ薄切りでもらいます。
それの繰り返しで、厚さ0の断面積の集まりができますよね。
それをインテグラルしたら体積になる、そういうことでしょうか？
つまり切れば切るほど表面積は増えるので、その増えた分を∫して体積にする
みたいな流れでしょうか？