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バナッハ・タルスキーの定理を信じられますか？

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0001１３２人目の素数さん2005/07/09(土) 23:44:39
バナッハ・タルスキーの定理

大きさの異なる２つの球体KとLを考える。Kを適当に
有限個K1、K2、．．．、Knに分割し、K1、K2、．．．、Knの
それぞれの形を変えずに適当に隙間なく組み合わせなおすと、
Lを作ることができる。

実際に証明されている定理なわけですが、明らかに有りえない定理です。
0002１３２人目の素数さん2005/07/09(土) 23:56:56
n
0003１３２人目の素数さん2005/07/10(日) 00:08:15
明らかにありえないことを証明してほしいものだ。
0004１３２人目の素数さん2005/07/10(日) 00:15:42
体積が変わってしまうけどいいの？でもそれは変だよね？
0005１３２人目の素数さん2005/07/10(日) 00:18:58
体積じゃなくて面積だけど、別に変ではないだろう。
「分割しても面積は変わらない」というのが思い込みだった。というだけで。
0006１３２人目の素数さん2005/07/10(日) 00:25:58
半径１の球面をバナッハタルスキー分解して、
半径２の球面するやり方を教えれ。
0007１３２人目の素数さん2005/07/10(日) 00:26:58
>5 わからん、思い込みなのか、、ﾘｰﾏﾝ積分って細かく分割してから集めてそれを面積ってしてなかったっけ？
0008１３２人目の素数さん2005/07/10(日) 00:29:01
>>7
それは極限の問題だろ。今は有限の話だ。
>>6に答えろ。
0009１３２人目の素数さん2005/07/10(日) 00:31:52
>>7
分割のしかたによらず、ある一定の値が定まるときに、その値を面積と呼ぶ。
バナッハタルスキの場合、上の意味で面積がない（正確にはルベーグ可測でない）
図形に分割するので、そういう議論はなりたたん。
0010１３２人目の素数さん2005/07/10(日) 00:33:49
>8 って事は無限個に分解すれば、面積はかわらんが、有限個に分解すればいくらでも面積違うものがつくれるって事か、、不思議だな
0011１３２人目の素数さん2005/07/10(日) 00:34:47
>9 なるほど
0012１３２人目の素数さん2005/07/10(日) 00:34:54
>>8
ぐぐれ。"banach tarski"とかで。
0013１３２人目の素数さん2005/07/10(日) 00:41:58
三次元だから体積でいいんだな。面積じゃないや。ｽﾏｿ。
0014１３２人目の素数さん2005/07/10(日) 10:05:29
しかし、コレは事実しっかりと証明されてるんだよなぁ。
知ったときは衝撃をおぼえたよ。
0015１３２人目の素数さん2005/07/10(日) 11:06:23
つーか、二次元だとバナッハ・タルスキー成り立たないだろ
0016１３２人目の素数さん2005/07/10(日) 11:11:13
ノンメジャーラブルだからなんとでもいえる。
0017１３２人目の素数さん2005/07/10(日) 12:31:14
でもこれって選択公理を前提として証明されているんだよね？？

もしこの定理が現実に成り立つとしたら全ての物質は点の離散的集合って事になるんじゃないの？
0018１３２人目の素数さん2005/07/10(日) 15:56:30
U=Q+(R-Q)
S=CosetU
P=S+Q
R=[0,1)=UP
m(S)<∞->m(R)=1=Um(P)=Σm(S)->∞
m(S)=0->m(R)=1=Σ0=0
0019１３２人目の素数さん2005/07/10(日) 20:49:09
バナッハタルスキのスレって無かったのか。意外
0020１３２人目の素数さん2005/07/10(日) 23:36:58
パラドックススレで十分じゃね？
0021１３２人目の素数さん2005/07/11(月) 06:21:05
（　゜Д゜）　バナッハ！！！

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　タルスキー？　（゜д゜　）


0022１３２人目の素数さん2005/07/11(月) 13:29:09
選択公理を使わないで、バナッハ・タルスキの定理は
導けるの？
0023１３２人目の素数さん2005/07/11(月) 18:34:44
導けないけど、選択公理を認めなかったら無理数は存在しなくなる和名
0024１３２人目の素数さん2005/07/11(月) 19:03:36
つーとだ、

「現実世界では考えられない（かと言って不可能は証明できない）」
といっても、バナッハタルスキの定理は数学上正しいんだろ？

相対論が日食で初めて正しさが認められ始めたように、
何か現実的な問題に結びつけないかな？
0025１３２人目の素数さん2005/07/11(月) 19:20:33
>>22-23
選択公理より弱いハーン・バナッハの定理から
バナッハ・タルスキの定理が導かれることがわかっている。
0026GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w 2005/07/11(月) 19:55:04
talk:>>23 実数の集合が存在する以上、無理数も存在する。
0027１３２人目の素数さん2005/07/11(月) 20:19:16
論理的に矛盾しなければ数学では"非常識"も定理になるということで..
0028232005/07/11(月) 20:19:45
>>25
選択公理より弱いハーン・バナッハの定理て、どないなもんでっしゃろ？

>>26
んな、むちゃくちゃな。実数はどだい無理数を含んでまんがな
0029GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w 2005/07/11(月) 20:51:40
talk:>>28 1,2,5/2,8/3,65/24,…という数列(∑_{k=0}^{n}(1/k!)によって数列を作る。)は有理コーシー列であり、極限は有理数でない。
0030１３２人目の素数さん2005/07/11(月) 20:55:27
別に信じなくてもいいんだよ。そのロジックで行くとそうなるなって納得すれば
いいだけです。意味不明なんだよな、なんか。ピタゴラスの定理を信じますか？
0031１３２人目の素数さん2005/07/11(月) 21:56:03
>>29
誰だお前
0032１３２人目の素数さん2005/07/11(月) 22:34:00
√2は選択公理がないと構成できないことの証明きぼんぬ。
0033１３２人目の素数さん2005/07/11(月) 22:34:42
＞GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w

こいつは数学をちょっと齧った程度のようだ。
知識の断片だけを吐き出したり飲み込んだりして、
思考が伴っていない（笑）。
0034GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w 2005/07/11(月) 22:46:55
talk:>>32
x^2+2x-1の根がx=-1±√(2)なのは理解できるだろう。
適当な初期値を与えてx→(1-x^2)/2という変換を繰り返せばxが-1+√(2)に近づくことも分かるだろう。
すると、適当な初期値を与えてx→(1-(x-1)^2)/2+1という変換を繰り返せばxが√(2)に近づくわけだ。
こうして√(2)に収束する有理数列ができる。
一体何を考えている？
talk:>>33 そんなことを書き込んでいる暇があったら何か数学の話題でも出したらどうだ？
0035１３２人目の素数さん2005/07/11(月) 22:49:06
＞talk:>>33 そんなことを書き込んでいる暇があったら何か数学の話題でも出したらどうだ？

お前が出せよ、馬鹿（笑）
0036GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w 2005/07/11(月) 22:53:39
talk:>>35 君は有理数列の話題が既に出ていることにも気が付かないのか？
0037１３２人目の素数さん2005/07/11(月) 22:56:01
>知識の断片だけを吐き出したり飲み込んだりして、
>思考が伴っていない（笑）。

山口人生とか松本真吾みたいな
トンデモよりはマシだろう
0038１３２人目の素数さん2005/07/11(月) 22:56:51
有理数列有理数列って五月蝿ぇなぁ（笑）。

>>29で何が言いたかったの？（笑）。
0039１３２人目の素数さん2005/07/11(月) 22:57:28
>>34

お前は本当に空気読めない奴だなあ。>>32は>>23,>>28に対する質問に決まってるだろうが。
0040１３２人目の素数さん2005/07/12(火) 08:07:38
ビー玉みたいな球を想像するんではなくて、点の集まった「群」みたいなもので考えろ、と
何かの本で読んだ気もするが、それさえよく分からん。眠いし。
0041１３２人目の素数さん2005/07/12(火) 11:29:53
>>32
実数の集合から(-∞,√2)を引いた集合は、選択公理を認めないと整列できない
から最小元が存在しない。つまり√2は存在しない。

って、どうよ？
0042１３２人目の素数さん2005/07/12(火) 11:48:22
というか「√2が構成できない」という
ステートメントの意味が分からないわけだが．
数学では「〜出来ない」ことを示すには
まず「〜出来る」ということの意味を
厳密に定義してしまわないといけない．
0043GiantLeaves ◆1HQBbUfrvs 2005/07/12(火) 13:58:02
talk:>>34 お前誰だよ。
0044１３２人目の素数さん2005/07/12(火) 14:41:19
選択公理を認めればこの手の直観をくつがえす定理は
いくらでもつくれる

別にたいしたことではない
0045１３２人目の素数さん2005/07/12(火) 14:44:41
そもそも直観に反してなどいないが。
0046１３２人目の素数さん2005/07/12(火) 14:47:16
>>23
うそつくなよ馬鹿
0047１３２人目の素数さん2005/07/12(火) 18:19:32
>>37
それをいうなら
「山口人生とか白石誠人みたいな
　トンデモよりはマシだろう」
だろ（ｗ
0048１３２人目の素数さん2005/07/12(火) 18:56:33
有理数集合の完備化として無理数集合を定義するには選択公理は必要としない。
0049１３２人目の素数さん2005/07/12(火) 22:24:04
>>42

ZFで、√2を含む有理数体の拡大体を構成できるかどうか。
或いはもっと一般に実数体を構成できるかどうか。
0050正解2005/07/12(火) 23:23:42
>>47
山口人生とか松本真吾とか白石誠人みたいな
トンデモよりはマシだろう
0051１３２人目の素数さん2005/07/12(火) 23:24:49
pdfファイルでお願いしたいけど、
バナッハ・タルスキーの定理の証明を書いた論文
あるいは何かしらのものって無いですかね？

興味が沸きすぎている〜〜〜〜！
0052１３２人目の素数さん2005/07/13(水) 01:57:15
>>51
ttp://suuri.sci.ibaraki.ac.jp/~yamagami/btp/btp.html
0053１３２人目の素数さん2005/07/13(水) 09:33:49
なんつーか証明のキモはなんなの？
ひとことでいってしまうと？
0054１３２人目の素数さん2005/07/13(水) 09:39:52
>>53
洗濯高利
0055１３２人目の素数さん2005/07/13(水) 12:17:35
まさか選択公理を知らずにいきなりバナッハ・タルスキーの定理に臨んでいるわけではあるまいな？
0056１３２人目の素数さん2005/07/13(水) 12:33:25
球を有限個に切るのに
どこに選択公理が入る余地があるん？
説明してみ
0057１３２人目の素数さん2005/07/13(水) 13:28:59
有限個に切るところではなく
そのとんでもない切り方が選択公理から保証される
0058１３２人目の素数さん2005/07/13(水) 13:42:29
>>57
だからどういうふうに切るんだよ？

どうせおまえもわかんねんだろwwwぷ
0059１３２人目の素数さん2005/07/13(水) 15:27:42
これは体積だけの理論なの？二次元とか一次元もしくはより高次元に拡張されないの?
0060１３２人目の素数さん2005/07/13(水) 15:45:25
>選択公理より弱いハーン・バナッハの定理て、どないなもんでっしゃろ？

>Hahn-Banach Theorem
>A linear functional defined on a subspace of a vector space V and
>which is dominated by a sublinear function defined on V has a
>linear extension which is also dominated by the sublinear function.
>http://mathworld.wolfram.com/Hahn-BanachTheorem.html
0061１３２人目の素数さん2005/07/13(水) 15:46:38
よくわからんが、y=2xって長さ1のものを2に伸ばしたようにも見えるんだが、、でもこれは有限個分割では無理そうだな、、有限個分割ってのが１番不思議かも 逆に無限分割なら何次元でもどんな形でも濃度同じなら可能って事か？
0062１３２人目の素数さん2005/07/13(水) 15:52:12
証明で実際の分割の構成方法はあたえているんだろうか？
0063１３２人目の素数さん2005/07/13(水) 16:42:06
5個に分ければ良いというRobinsonの定理とかがあったような

ただ，分け方で，例えば無理点とそれ以外の二つ、みたいな類の
むちゃくちゃなことするから，普通に切るだけじゃ無理ですね

>>62
選択公理のところで構成できなくなるに決まってる
0064１３２人目の素数さん2005/07/13(水) 18:03:00
リンゴを包丁で切るような考え方でいると無理。
集合を適当に分割して、それを合わせて別な集合を作ると考える必要がある。
0065１３２人目の素数さん2005/07/13(水) 18:15:22
>>64
は？
そんなに反則じゃん

たとえば2倍の球にするには
部品をそれぞれ2倍にすればいいという話でしょ？

あたりまえじゃん
0066１３２人目の素数さん2005/07/13(水) 18:41:24
2倍するという動作は合同変換に入らない。
あくまで分割するのと合同変換だけで同じ球をもう1つ作る。
0067１３２人目の素数さん2005/07/13(水) 18:44:04
>>59
1 次元と 2 次元ではパラドキシカルな分割ができないことが選択公理を使って
証明されている。一方で、球面や非ユークリッド平面では可能。
0068１３２人目の素数さん2005/07/13(水) 18:51:20
どうもわからない

普通の言葉でいうと
どんな分割のしかたをするわけ？
0069１３２人目の素数さん2005/07/13(水) 18:56:31
選択公理って事は点毎に分割すんじゃね？
そんでまた組み合わせるんじゃね？
で体積変わっちゃうんじゃね？
0070１３２人目の素数さん2005/07/13(水) 19:03:40
>>69
それじゃ有限個じゃないじゃん
0071１３２人目の素数さん2005/07/13(水) 19:07:55
点を無限に選べばいいんじゃね？
その点毎にある集合とんじゃね？
0072１３２人目の素数さん2005/07/13(水) 19:09:53
>>71
馬鹿かおまえは
有限個の分割だっていってんだろ
ころすぞテメエ
0073１３２人目の素数さん2005/07/13(水) 19:16:23
無限がどっかでなんらかの形で出てこないとそうはならんだろう？
0074１３２人目の素数さん2005/07/13(水) 19:57:34
>>68
だからさ、普通の言葉で表せるようなまともな形状での分割じゃないんだってば。
0075１３２人目の素数さん2005/07/13(水) 21:20:03
ここまでのをまとめると、有限個分割というのが、この定理のﾎﾟｲﾝﾄであり、一般の1次元や2次元では不可能なようだ、、て事で今後はこの有限個分割をどのようにイメージしたら、この定理がしっくりくるかに焦点を当てﾚｽしましょう
0076１３２人目の素数さん2005/07/13(水) 21:23:09
一般の1次元や2次元って言うが、その二つだけが例外なんだぞ。
あと、イメージできたら構成可能じゃね？
0077１３２人目の素数さん2005/07/13(水) 21:31:33
構成するイメージは無理でも、、この定理の証明の核は選択公理らしいけど、それをどこで使うのかとか
0078１３２人目の素数さん2005/07/13(水) 21:35:13
可算個に分割すると、パラドキシカルに思わないんだろうか
（これなら簡単に書けるんだけど）

非加測集合の存在
R を可算個の合同な集合に分割して、
区間 (0,1) に重なり合わないように並べ替えることができる
0079１３２人目の素数さん2005/07/13(水) 21:36:42
どっちにしろ選択公理がないと無理なのでは。
0080１３２人目の素数さん2005/07/13(水) 21:46:50
選択公理がない足し算

φ+φ=φ
0081１３２人目の素数さん2005/07/13(水) 21:48:18
これが信じられないってのは、
文系とか工学部の数学音痴に多いな
0082１３２人目の素数さん2005/07/13(水) 21:49:01
選択公理が間違っていることを示すために生まれたのがこのパラドクス。
現実には
「間違っている」と捕らえるより「選択公理は非直感的な性質をもつ」と納得した数学者が多いようだ。
0083１３２人目の素数さん2005/07/13(水) 21:54:33
ということは、証明したバナッハやタルスキはこれを信じてなかったって事だな。
バナッハやタルスキは数学音痴だったんだな。
0084１３２人目の素数さん2005/07/13(水) 21:55:27
選択公理を使っている数学の本は、
どれも間違ってるのかぁ・・・
数学者って何やってるの？
0085１３２人目の素数さん2005/07/13(水) 21:58:12
選択公理を認める公理系と認めない公理系がどのようなかかわりを持つか研究してる数学者も結構いるよ
0086１３２人目の素数さん2005/07/13(水) 22:01:29
楽しい世界では決してないよな・・・
0087１３２人目の素数さん2005/07/13(水) 22:02:03
選択公理からは直感に反する結果が出るけど、
別に選択公理が間違ってるわけじゃない
つーか、ZFC(= ZF+選択公理) は無矛盾です
0088１３２人目の素数さん2005/07/13(水) 22:03:16
ZFの無矛盾性を仮定すればな。
0089１３２人目の素数さん2005/07/13(水) 22:11:56
バナッハ・タルスキに不安を覚えて、選択公理を排除する、
ってのは、拠り所が直観なのか論理なのかよくわからんなぁ。
物語としては面白いんだが。
0090１３２人目の素数さん2005/07/13(水) 22:14:32
選択公理は通常の有限では構成できない事の存在を保証している。
これを使うって事はだから、有限構成はできないけど存在を保証するって事を
どっかで使っているはずだ。だってそうでないなら、普通に有限で構成すれば
いいじゃんって話だ。
だから、構成するイメージができるなら、選択公理を使う必要はないし、
使っているしこれが肝ならば、有限構成するイメージは得られない。

要素が有限でもいくらでも無限は使える。分割の仕方とか、etcで、、、。
0091１３２人目の素数さん2005/07/13(水) 22:14:49
まあどう考えたって選択公理はいんちきだよな。便利だから使うけど。
0092１３２人目の素数さん2005/07/13(水) 22:15:58
たしか¬ACとなる公理を何か取ったら
R^2が可算個の"直線"の和集合になる，という
定理も出てこなかったっけ？
これはこれできついような
0093１３２人目の素数さん2005/07/13(水) 22:18:20
http://sun.dhis.portside.net/~sakira/QT/Ritsuko/S2.html

何このサイトのバナッハタルスキーの定理
0094１３２人目の素数さん2005/07/13(水) 22:18:59
使わないと極めて不便って事が、
正当性を保証してるんじゃね〜の？
0095１３２人目の素数さん2005/07/13(水) 22:20:32
ツォルンの補題についても語ろうぜ
0096１３２人目の素数さん2005/07/13(水) 22:20:42
>>94
まあそういう考え方もある。
0097１３２人目の素数さん2005/07/13(水) 22:21:34
>>93
現実の物質はルベーグ非可測には分割できないんじゃないの？
0098１３２人目の素数さん2005/07/13(水) 22:22:43
公理を排除する時間があれば、
有益な公理を追加する、
数学はこうじゃなくちゃイカン！
0099１３２人目の素数さん2005/07/13(水) 22:26:36
誰か証明の概略載せてくれ、そうすれば何らかの手掛りが得られるかも、、これが当たり前と思える奴は数学的ｾﾝｽがあるようなｷｶﾞｽ
0100１３２人目の素数さん2005/07/13(水) 22:26:58
バナタルを信じられないアナタは、とってもピュアな人。
選択公理を信じられないアナタは、とっても疑り深い人。
その二面性が僕は好きだ。
0101１３２人目の素数さん2005/07/13(水) 22:28:05
>>99

>>52のサイト嫁。
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