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バナッハ・タルスキーの定理を信じられますか？

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0001１３２人目の素数さん2005/07/09(土) 23:44:39
バナッハ・タルスキーの定理

大きさの異なる２つの球体KとLを考える。Kを適当に
有限個K1、K2、．．．、Knに分割し、K1、K2、．．．、Knの
それぞれの形を変えずに適当に隙間なく組み合わせなおすと、
Lを作ることができる。

実際に証明されている定理なわけですが、明らかに有りえない定理です。
0153１３２人目の素数さん2005/07/30(土) 05:01:05
>>152
目の当たりにすれば信じられる。試してみれ。
0154１３２人目の素数さん2005/08/24(水) 23:26:11
>>1
信じられます
0155１３２人目の素数さん2005/08/25(木) 00:57:58
この定理、生命の起源をイメージすると
あり得ないこともなさそうな感じがするが。。。
0156１３２人目の素数さん2005/08/25(木) 03:37:29
>>155
詳しく。
0157１３２人目の素数さん2005/08/25(木) 11:18:06
　バナッハ・タルスキーの定理の証明で最初に驚いたのは、補題で
「1個の球を有限個に分割して、組み合わせなおすと、分割する前の球と同じ
半径の球を2個つくることができる。」
を示しているところでしょうか。ここで体積が変化しています。
　そして、そのキモは意外と簡単で、次のような群がキモだと私は思っています。
まず、a、a'、b、b'の4つの文字の有限文字列全体の集合に空な文字列を加えて、
さらにaa'、a'a、bb'、b'bなる並びはすべて取り去るというルールを決めます。
するとこのルールの下での有限文字列たちは群をなします。そのときの演算は、
2組の文字列に対して、それを単に1列に並べるという操作です。
その演算の計算例は、演算記号を＊として書くと
　　aba'＊ab'a=aba'ab'a=abb'a=aa
です。この群をWとして、この群を次のように分割します。
　　W=W(a)+W(a')+W(b)+W(b')+e
ここでW(x)は、文字xで始まる文字列（つまり左端が文字xとなる文字列）全体
の集合で、eは空な文字列のみからなる集合です。また記号+は単に
集合の和集合の意味です。記号∪を使わなかったのは、お互いに共通部分の
ない集合同士の和集合であることを強調したかったからです。
　さてW(a')の要素に左からaを作用させたもの全体の集合をaW(a')とかくと
　　aW(a')=W(a')+W(b)+W(b')+e
となるので、なんと
　　W=W(a)+aW(a')
同様に
　　W=W(b)+bW(b')
となるのです。つまり1つのWから2つのWが作られてしまうのです。
　あとは、この群Wを球に作用させ、その軌道(orbit)を考えることで
「1つのWから2つのWを作る」話を「1つの球かｂ2つの球を作る」話に
翻訳します。選択公理は、このあたりで使用します。

なんとなく、自然数を奇数と偶数に分割するイメージのような気も．．．
ちなみに上記のWに同型な群はSO(1)、SO(2)からは取り出せないそうです。
n≧3のSO(n)からは取り出せるそうです。
0158１３２人目の素数さん2005/08/30(火) 12:47:00
('Ａ`)
0159１３２人目の素数さん2005/08/30(火) 23:39:16
age
0160１３２人目の素数さん2005/09/15(木) 15:15:31
>>157のおかげで何かが見えた気がする。まあ気のせいだが。
0161１３２人目の素数さん2005/10/08(土) 12:28:55
572
0162１３２人目の素数さん2005/10/22(土) 21:47:23
age
0163１３２人目の素数さん2005/10/22(土) 22:01:05
１５７さんの書き込みがちゃんと理解できないのが悲しい。
しかしこのパラドックスはそもそも「体積」のあるものが
「不可測」な断片に分解されるという部分の解釈がおかしい
のだとおもわれる。体積なら幾ら細分化しても可測だろうし、
不加測な断片に分解できるようなものなら体積とは言わない。
つまり誤った比喩が矛盾の感覚を生む。
0164１３２人目の素数さん2005/10/23(日) 00:18:40
バナッハ・タルスキーの定理は「定理」です。パラドックスと呼ばれるのは日常の感覚
からパラドックスのように感じられるからに過ぎません。
>>163
＞「体積」のあるものが
＞「不可測」な断片に分解されるという部分の解釈がおかしい
＞のだとおもわれる。
と思うのはあなたの勝手ですが、これは定理なのです。証明されているのです。
可測という言葉を使いながら
＞体積なら幾ら細分化しても可測だろうし
とおっしゃるあなたのセンスのなさには驚きです。自分のもっていらっしゃる日常の
感覚というものがいかにあてにならないのかの経験がないのでしょうか。
あなたがまだ高校生くらいなら、今後の研鑽によって修正は可能なのでしょうが
ある程度お年を召された方なら理解することは不可能なのでしょうね。
0165１３２人目の素数さん2005/10/23(日) 04:42:48
実は幾らでも伸び縮み出来る風船について考えてるだけなんだけどな、、空気を送り込めば幾らでも大きく出来るだろ？その操作と同じ役割を果たすのが有限分割ってだけの話
0166１３２人目の素数さん2005/10/23(日) 10:58:40
>>165
伸び縮みは無くても平行移動と回転だけで体積を変えられるって話なんだが。
0167１３２人目の素数さん2005/10/23(日) 16:10:48
面積などの計量が存在するとは限らない対象に対して
移動を合同変換に限ることにどれほどの意味があるんだろう。
0168１３２人目の素数さん2005/10/23(日) 16:46:34
何その後出しジャンケン
0169１３２人目の素数さん2005/10/23(日) 17:42:45
なんとか感覚的に理解できました。
球の性質だけで見ると可能だということでしょう？
現実世界にある球は球の性質以外の要素があるので不可能というだけでは？
0170１３２人目の素数さん2005/10/23(日) 18:15:50
>>169
＞球の性質
＞球の性質以外の要素
具体的には何？
01711692005/10/23(日) 18:29:18
知らんがなｗ
感覚的な理解に具体的な説明もとめんなｗ
0172１３２人目の素数さん2005/10/23(日) 19:57:38
まあ現実のボールはあくまで原子が有限個集まって出来たものだから
限りなく分割も出来ないし、合同変換で二倍にするのも不可能だよね
0173１３２人目の素数さん2005/10/23(日) 20:18:44
そういうことだな。
そういう現実の常識にとらわれない者が数学を発展させていくのかもな。
0174１３２人目の素数さん2005/10/23(日) 20:22:17
限りなく分割？
0175１３２人目の素数さん2005/10/23(日) 21:01:47
定期的に立つね、バナッハ・タルスキ。
0176１３２人目の素数さん2005/11/18(金) 10:41:34
648
0177１３２人目の素数さん2005/12/18(日) 06:31:59
149
0178１３２人目の素数さん2006/01/02(月) 03:27:58
979
0179１３２人目の素数さん2006/01/16(月) 09:06:42
不思議なこっちゃ
0180ogachan2006/01/16(月) 20:43:05
バナッハ・タルスキーの定理が、ＺＦＣだったけか何だかの公理系に
１００％依存しているものだとすると、その定理は誤りです。なぜなら、
ＺＦＣは誤った体系だから。ゲーデルの不完全定理を再考した結果、その
ような結論に至りました。感想よろ。

http://members2.tsukaeru.net/ogawa/gepara.html
0181１３２人目の素数さん2006/01/16(月) 23:50:42
>>180
スレ違いです。
こちらへどうぞ。
あなたの筆跡晒してみてよ in数学板
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1136737027/
0182１３２人目の素数さん2006/01/31(火) 10:44:38
k

i

n

g
0183１３２人目の素数さん2006/01/31(火) 11:30:00
age
0184GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w 2006/01/31(火) 12:20:46
talk:>>182 私を呼んだか？
0185１３２人目の素数さん2006/02/05(日) 08:25:38
745
0186ゆんゆん ◆ix/VLkaG4I 2006/02/05(日) 15:52:34
二人の関係は？
0187１３２人目の素数さん2006/02/05(日) 16:10:06
>>186
お前誰だよ？
0188１３２人目の素数さん2006/02/06(月) 06:19:03
age
0189１３２人目の素数さん2006/02/08(水) 04:19:21
球体の点集合Ｖ、Ｗについて
Ｖ＝Ｖ1＋...＋Ｖn
かつ
Ｗ＝t1(Ｖ1)＋...＋tn(Ｖn)(＋はdisjoint union)
であるような点集合Ｖ1,...,Ｖnと回転移動変換t1,...,tnがある

ってこと？
0190１３２人目の素数さん2006/02/08(水) 21:09:14
これって要は石井のお弁当君ミートボール
ってこと。
0191１３２人目の素数さん2006/02/09(木) 03:27:50
拡大縮小だって点の間の写像としてみれば一対一だから
べつに体積が変わるのはよい

が回転と移動だけでどれをどれに写せるのかわからん
写像は有限個なのに選択公理はどう使われるの？
0192１３２人目の素数さん2006/02/09(木) 04:36:37
> べつに体積が変わるのはよい

とくにここが駄目駄目
0193１３２人目の素数さん2006/02/09(木) 04:37:23
最初からこのスレを嫁
0194１３２人目の素数さん2006/02/26(日) 23:47:12
測度ってのがいまいちよく分からない…
一般化した量みたいなものなんだよね？
例えば[0,1]の部分集合Aで、任意の実数a,b(0＜a＜b＜1)に対し、
[a,b]∩Aの測度が(b-a)/2になるようなものって存在するの？
0195１３２人目の素数さん2006/02/27(月) 16:51:01
>>194
A=[0,1], m(E)=λ(E)/2, E⊂[0,1]はルベーグ可測集合でλはルベーグ測度

とした測度mがお望みのもの。
0196１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 19:40:47
>>195
分かりにくくてごめんなさい。
「[0,1]の部分集合Aで、任意の実数a,b(0＜a＜b＜1)に対し、
[a,b]∩Aのルベーグ測度が(b-a)/2になるような集合Aって存在するの？」って意味でした。
0197１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 23:39:04
amenable
01981982006/03/01(水) 19:11:33
198 円均一
0199１３２人目の素数さん2006/03/01(水) 23:17:45
＾＾
02002002006/03/02(木) 07:29:16
caltech
0201１３２人目の素数さん2006/03/04(土) 12:30:04
バナッハして一時間以内にタルスキーされなければ逆説的群
0202１３２人目の素数さん2006/03/04(土) 15:15:15
>>194
Lebesgue積分ｾﾞﾐ
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1109910304/301
0203１３２人目の素数さん2006/03/04(土) 15:56:59
>>202
ありがとうございました。
似たような質問が出ていたんですね。
>>317の超準解析を使った手法って超実数の範囲では存在するってことですか？
0204１３２人目の素数さん2006/03/04(土) 21:46:37
banach
0205１３２人目の素数さん2006/03/04(土) 22:31:53
>>204
　　Λ＿Λ　　藤ｬ藤ｬ
　 （　・∀・）　　　|　|　ﾀﾙｽｷｰ
　と　　　　）　 　 |　|
　　 Ｙ　/ノ　　　 人
　　　 /　）　 　 < 　>_Λ∩
　 ＿/し'　／／. Ｖ｀Д�）/
　（＿フ彡　　　　　 　　/　←>>204
02062052006/03/04(土) 22:32:29
自分カコ悪いww
0207１３２人目の素数さん2006/03/05(日) 06:41:16
よくわからん。
整数を奇数と偶数に分けて、Z=O+Eとし、OとZは一対一対応があるし
EとZも一対一対応があるからZ=Z+Zとみなすことが出来るので
１＝２だというような感じの議論にしか見えない。
0208１３２人目の素数さん2006/03/05(日) 08:07:49
OとZが一体一対応があるどころか合同ですらある所がポイント
0209１３２人目の素数さん2006/03/05(日) 08:26:06
選択公理ね。靴下を色で分けてね。でもでもでも〜〜〜〜〜。
さいころでね、くじ引きでね、とゆーのは工学的にはあるのではないの？
0210１３２人目の素数さん2006/03/05(日) 08:30:04
ツェルメロンパンが来たよ〜〜〜〜〜。
0211１３２人目の素数さん2006/03/05(日) 09:07:32
バナッハは信じられるがタルスキーのおやじは信用ならぬ・：・
0212１３２人目の素数さん2006/03/05(日) 16:53:39
こんにちは。
0213BW of Tama Kinng2006/03/05(日) 17:06:48
こんにちわ。
0214１３２人目の素数さん2006/03/05(日) 17:10:12
>>211
あなたに１０００票
0215１３２人目の素数さん2006/03/07(火) 04:05:24
もしも、そういうことが成り立つのなら（つまりある集合の測度が
それと二倍の測度を持つものと合同？）、積分などにおける測度の
意味とかが怪しくなって来ないか？　単位球の体積が4/3πだと
思ってたのに、8/3πになったり、さらにその倍になったりとか
じゃあ、何を信じて良いのかわからない。
0216BW of Tama King2006/03/07(火) 04:20:50
>>215 この世に信じられるものなどほとんどないことを忘れたか！！
0217１３２人目の素数さん2006/03/07(火) 16:23:13
馬は暑さに弱いので、樽に入った冷たい麦酒を
好むことを古来日本では「馬夏は樽好き」と呼んで
いた。これがこの定理の語源となったことはあまり
知られていない。
　　　　　　　民明書房「日本酒の語源は韓国ニダ」
0218１３２人目の素数さん2006/03/07(火) 16:24:06
最後は起源だったorz
0219１３２人目の素数さん2006/03/08(水) 10:37:09
>>215
測度の定義できない集合もあるってだけじゃねーの？
0220１３２人目の素数さん2006/03/08(水) 19:15:19
R^3で考えるからおかしなことになるんじゃないか？
例えばQ^3上で半径1の球と半径2の球は分割合同なのか？
0221１３２人目の素数さん2006/03/08(水) 21:35:14
>>215
証明を読めばわかるが分割された集合の形がルベーグ測度で測れるような
代物ではないことに起因してるからそういう問題は生じない
0222１３２人目の素数さん2006/03/09(木) 21:59:37
>>196って結局存在するの？
>>202を見てもよく分かんないんだけど。
あと>>220もぜひ知りたい。
0223１３２人目の素数さん2006/03/09(木) 22:50:13
>>222
>>196は、もしそんなAが存在したとすると、
Aの定義関数をTとして、向こうのスレの>>333
＞∫＿［０，ｘ］（Ｔ（ｘ）−１／２）ｄｘ＝０。
＞（２）Ｍが任意の区間のとき∫＿Ｍｆ（ｘ）ｄｘ＝０なら
＞ｍ（｛ｘ｜ｆ（ｘ）≠０，ｘ∈Ｒ｝）＝０となることを使う。
から、殆ど全てのxについてT(x)=1/2となって、
Aの定義関数Tが0でも1でもない値を取る事となり、矛盾。

「全角」の文章は埋め得る行間が空いてる。
ただ、背理法を使ってるという事とか
省略する必要性が感じられない事まで省略するのってどうなの？

>>220は他の人に任せた。
0224１３２人目の素数さん2006/03/11(土) 07:48:37
>>223
＞Ｍが任意の区間のとき∫＿Ｍｆ（ｘ）ｄｘ＝０なら、ｍ（｛ｘ｜ｆ（ｘ）≠０，ｘ∈Ｒ｝）＝０となる

これはどうやって導くの？
0225１３２人目の素数さん2006/03/11(土) 09:41:25
>>224
μ(E):=∫_[E]f(x)dxとすると、μは区間に対して0を取る測度なので、
測度の拡張の一意性よりμ=0 (あるいは単調族定理を使っても良い).
特にそれぞれ∫_[f^±>0]f(x)dx=0よりf^±=0 a.e. よってf=0 a.e.
02262262006/03/11(土) 20:55:41
226 事件
0227１３２人目の素数さん2006/03/12(日) 04:32:32
測度論が分からないと
この定理のもっともらしさはイメージできないのでしょうか
0228１３２人目の素数さん2006/03/12(日) 04:37:09
>>227
取り合えず自分で証明を読んでみて判断してくれ。
難しい概念は出てこないから。
0229１３２人目の素数さん2006/03/12(日) 05:10:44
測度論をよく分かっていない
自分でも証明を読む価値はありますか？
0230１３２人目の素数さん2006/03/12(日) 14:08:03
いや、証明自体には測度とか出てこないから大丈夫だよ。
0231１３２人目の素数さん2006/03/12(日) 14:44:22
選択公理胡散臭いって感覚にはなるかもな
0232１３２人目の素数さん2006/03/12(日) 17:20:19
なんで平面図形では成り立たないの？
θ度回転させて得られる点の集合云々は平面図形でも成り立つよね？
0233１３２人目の素数さん2006/03/12(日) 21:48:58
>>232
>>157
0234１３２人目の素数さん2006/03/12(日) 22:24:00
3次元では全ての立体に体積が定義できないけど、1次元や2次元では定義できるんだよね？
定義の仕方は一意に決まるの？
0235１３２人目の素数さん2006/03/12(日) 22:27:46
>>233
補題(一点を取り除いた図形の分割も同型)までは平面でも成り立つ
という理解で良いのかな？
0236１３２人目の素数さん2006/03/12(日) 22:27:48
>>234
>>125
0237１３２人目の素数さん2006/03/12(日) 22:32:05
>>236
いや、有限分割の話。
0238１３２人目の素数さん2006/03/12(日) 23:01:10
>>235
自分で読んだ方がはやいと思うよ
0239１３２人目の素数さん2006/03/12(日) 23:02:32
>>238
補題まで読んで飽きたｗ
0240１３２人目の素数さん2006/03/12(日) 23:35:17
>>237
(R^n とかの)全ての部分集合に測度が存在するかどうかを単に測度問題と言うことにすると

全ての集合に体積が定義できるかどうか(完全加法的測度問題)
と
有限分割してパラドキシカルな結果が生じるかどうか(有限加法的測度問題)
は別だよ

・R の完全加法的測度問題
反例 >>125 (Vitali 1905)
・R^3 の有限加法的測度問題
反例 >>1 (Banach, Tarski 1924)
・R, R^2 の有限加法的測度問題
肯定的 (Banach 1923)

最後の結果は誰か解説してくれ…
0241１３２人目の素数さん2006/03/12(日) 23:43:30
>>240
ありがとうございます。
3番目は一意に決まりますか？
0242１３２人目の素数さん2006/03/12(日) 23:54:23
Cの代わりにADを使うと全部ルベーグ可測になるんだよね
ADってどんな公理？
0243１３２人目の素数さん2006/03/13(月) 00:16:00
>>240
R^3よりR, R^2が先に証明されたのが意外…
普通に考えると反例を探すことより証明することの方が難しそうに思えるのに…
0244１３２人目の素数さん2006/03/13(月) 00:48:09
http://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_determinacy
http://planetmath.org/encyclopedia/AD.html
http://www.google.co.jp/search?hl=ja&q=axiom+determinacy&spell=1

集合論の授業とかでも、こういうことをやると面白いのにね
素朴集合論の範囲を微妙にオーバーするような気がするけど
0245１３２人目の素数さん2006/03/13(月) 02:02:43
いまいちよく分からない
もうちょっと噛み砕いて説明してくれると嬉しい　＞AD
0246１３２人目の素数さん2006/03/13(月) 05:31:38
集合とはなにか、にある説明を書いてみましょうか

決定の公理（以下AD）

二人のプレーヤー I と II が、ゲームをする
最初に I がK := { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }の中から一つの数を選ぶことにする
これをk_1とし、
k_1を見て II がやはり0,.........,9までの数を一つ選んでk_2とし、
これを見て I が0,.........,9の数を一つ選んでk_3とする
こうやってk_1, k_2,.......,k_5までの数を得る

さて今ゲームの規則を
(k_1,..........,k_5)∈A⊆K^5のときに I が勝ち、そうでないとき II の勝ちとする
このとき必ず I または II いずれかの必勝法が存在する.........(*)

（∵ I の必勝法が存在しない
⇔not [∃k_1∀k_2∃k_3∀k_4∃k_5 　　　(k_1,........,k_5)∈A]
⇔　　　∀k_1∃k_2∀k_3∃k_4∀k_5 not [(k_1,........,k_5)∈A]
⇔ II の必勝法が存在する）
0247１３２人目の素数さん2006/03/13(月) 05:32:11
この証明を良く見てみると5回でなく任意の有限回でもよく、
Kは一般の無限集合でよいことがわかる
ではnを可算有限回と拡張したとき、命題(*)の対応物はどうなるだろうか？
これが正しいというのがADである
正しいような錯覚がするが、これは実は間違っている！！！
Kがうんと大きな集合のときは反例が容易に得られるので
Kを高々可算の集合とすると、この命題の反例は今までのところ、
選択公理を用いて、対角線論法によらなければ作ることが出来ていない
したがってキチンと定義された集合に限定すればADは成り立つのではないか？
という考えがあり、実際この弱い形のADとZFとは今のところ何も矛盾も出ていない

ではどうしてADに興味を持つのか？
1. 弱い形のADでさえ、可測基数の存在よりはるかに（無矛盾性の意味で）
強い公理であり、この公理を仮定して得られた数学の定理が沢山在る
2. ADは実数についての公理とみることが出来、
実際この公理はある実数の存在とはっきり表すことが出来る
したがって実数についての新しい考えを見出す手がかりになるのではないか？と考えられる

以上のような理由でADの研究は一時非常に流行ったが、現在ではやや下火である
0248１３２人目の素数さん2006/03/13(月) 21:40:18
nを可算有限回と拡張したときのゲームってどんなのですか？
0249１３２人目の素数さん2006/03/14(火) 02:13:48
NWってどんな公理系？
0250１３２人目の素数さん2006/03/14(火) 05:30:27
age
0251１３２人目の素数さん2006/03/14(火) 14:40:48
無限回の反復操作の中に、矛盾を先送りしているのではないだろうか？
0252１３２人目の素数さん2006/03/14(火) 15:28:35
>>240の3つめって選択公理は必要なの？
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