>>454
変数の変域はコンパクトな滑らかな多様体でそのうえでのなめらかな関数の
最大をかんがえているので最大値は最大の極値。そこで極値をもとめる。
S=蚤(i)z(i)^2-α配(i)-β(配(i)^2-1)とおいてz(i)=ζ(i)において極値をとるとすると
あるα、βが存在してdS(ζ)=0。よってζ(i)=α/(a(i)-β)でありさらに
束縛条件から買ﾄ(i)=買ｿ/(a(i)-β)=0、買ﾄ(i)^2=買ｿ^2/(a(i)-β)^2=1。
このとき極値λは
λ
=蚤(i)ζ(i)^2
=蚤(i)(α/(a(i)-β))^2
=(a(i)-β)(α/(a(i)-β))^2+β
=β
結局λは1/(a(i)-λ)=0をみたすことがわかる。逆にこれをみたすλをとるとき
β=λ、α=√(1/1/(a(i)-β)^2)、ζ(i)=α/(a(i)-β)とおけばこのζでSは極値λをもつ。
よって最大値は方程式1/(a(i)-λ)=0の最大の解。