>>375
x > 0のときの微分を考えると
f(x)=e^(-1/x)
f'(x)= (1/x^2) e^(-1/x)
g(y) を多項式として
h(y) = g(y) e^y
を, yで微分することを考えれば
h'(y) = { g'(y) + g(y)} e^y
g'(y) + g(y) も多項式であるから
h(y)をyで微分しても yの多項式と e^yの積になる。
ここで y = -1/xとすると
(dy/dx) = 1/x^2 = y^2
であり
(d/dx) h(y) = h'(y) (dy/dx) = h'(y) (y^2)
これもyの多項式と e^yの積
すなわち、 f(x) は何度微分しても yの多項式と e^yの積になる。
ここで多項式を構成する単項式に注目すれば

(y^m) e^y = ((-1/x)^m) e^(-1/x) → 0 (x→+0)