線形(同型)写像の問題なのですが…
【dimV=dimV'の時、VはV'に同型になる。すなわちVからV'への同型写像が存在することを証明しますた。】

dimV=dimV'=n として、Vの基底{v1,v2,…,vn}とV'の基底{v1',v2',…,vn'}をとる。
Vのベクトルaを a=c1v1+c2v2+…+cnvn で表す時、写像f:V→V'をf(a)=c1v1'+c2v2'+…+cnvn'　と定義する。
この時、fは線形写像になる。実際Vの２つのベクトルを
a=c1v1+c2v2+…+cnvn　b=d1v1+d2v2+…+dnvn　とすれば
f(a+b)=f((c1+d1)v1+(c2+d2)v2+…+(cn+dn)vn)
=(c1+d1)v1+(c2+d2)v2+…+(cn+dn)vn
=(c1v1'+c2v2'+…+cnvn')+(d1v1'+d2v2'+…+dnvn')
=f(a)+f(b)
同じようにしてスカラーcに対して、f(ca)=cf(a)
で、任意のy∈V'をとれば、y=k1v1'+k2v2'+…+knvn' と書けるから
x=k1v1+k2v2+…+knvn とすればf(x)=yとなる。
だからfは全射でfが単射であることも基底の1次独立性から分かる。


↑合ってますかねぇ??もし違ってたら何処がダメダメか教えてください。
あと、この逆証明バージョン
【VがV'に同型であればdimV=dimV'が成り立つという証明】
のやり方と、これとは別に
【f:V→V'が同型写像であれば、fの逆写像f^(-1):V'→Vも同型写像の証明】
が教科書を読んでいるのですがイマイチpinときません。
アドバイスヨロしこお願いします！