x＞0で、y=x^(1/x)のグラフをかんがえると、y'=x^(1/x)*{(1-log(x))/x^2} より、x=eで最大値をとる。
よって、ことなる自然数a,b (a＜b)が、 a＜b＜e のとき a^(1/a)＜b^(1/b)　⇔　a^b＜b^a
また、e＜a＜b のとき a^(1/a)＞b^(1/b)　⇔　a^b＞b^a、
a＜e≒2.71＜bのときに可能性があり、実際 2^(1/2)=4^(1/4)、しかし2より小さな自然数は1だけで、
eより大きく1に等しい自然数は存在しないので2と4のみが解になる。