続き。

f(f(y))=y+(f(0))^2 より f(x) は全単射。
これと、f(x)=-f(-x) (x≠0) より f(0)=0.
よって、f(f(y))=y.

f(x^2)=(f(x))^2 より、f(x)>0 (x>0).

h>0 に対し、f(y)=h となる y>0 があるので、
f(x^2+h)=f(x^2+f(y))=y+(f(x))^2 > (f(x))^2=f(x^2)
となるので、x>0 で f(x) は単調増加。
f(x) は奇関数なので、f(x) 自身が単調増加。

f(x)>x とすると f(f(x))>f(x)>x.
f(x)<x とすると f(f(x))<f(x)<x.
となり、いずれも f(f(x))=x と矛盾。

したがって、f(x)=x.