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やっと分かった・・・と思います。
項数が奇数の場合第一項と第n項が残って
項数が偶数の場合第一項のみ残る。
項数を2倍にすれば2n=偶数、2n-1=奇数なので2n-1なら第一項しか残らない・・・よってS(2n-1)=1
という考えで合ってます？