f(x+h)=f(x)+f(h)+xh(3x+3h+1)、hを定数と見なして両辺xについて微分汁と、
f'(x+h)=f'(x)+0+h(3x+3h+1)+3hx、h=xとおくと、f'(2x)-f'(x)=9x^2+x より、
f'(x)は2次式と考えられるから、f'(x)=ax^2+bx+c とおくと、(4ax^2+2bx+c)-(ax^2+bx+c)=9x^2+x
係数比較で、a=3,b=1、また f'(0)=0からc=0で、f'(x)=3x^2+x、
f'(x)=3x^2+x　⇔　f(x)=∫f'(x) dx = x^3+(x^2/2)+C、f(0)=0よりC=0で、f(x)=x^3+(x^2/2)