明らかといえば明らかだよね．
まず初めにに計算していることは事は，
f(x)が微分可能，f'(x)=｜e^x - 1｜かつf(1) = e
(→)f(x)はf(x) = -e^x + x + 3 (x<0)、f(x) = e^x - x + 1 (x > 0 or x = 0)
で，これはfが存在するとすれば，これしかない，ということしかやってなくて，
逆の(←)の確認を残り三行でやっている，ということでしょう．
ほとんど同値変形だけどね．

ところで「f(x)はx=0でもありうる」って問題集にそう書いてあったんですか？
自分で答案を書くときには，こういう書き方はしない方がいいですよ．