微分可能な関数f(x)がf'(x)=｜e^x-1｜を満たし、f(1)=eのときf(x)を求めよ。
【問題集の解答】
x<0のとき、e^x-1<0、f'(x)=-e^x+1
f(x)=∫(-e^x+1)dx=-e^x+x+C・・・・①
x≧0のとき、e^x-1≧0、f'(x)=e^x-1
f(x)=∫(e^x-1)dx=e^x-x+D・・・・②
f(1)=eであるから、e=e-1+D
故にD=1、よって、f(x)=e^x-x+1
また、f'(0)=0であるから、f(x)はx=0で連続である。
②よりf(0)=2、①のf(x)も連続であるから、C=3
以上からf(x)=-e^x+x+3(x<0)、f(x)=e^x-x+1
なを、lim[h→-0]{(-e^h+h+1)/(h)}=0
lim[h→+0]{(e^h-h-1)/(h)}=0
よってf'(x)=0であり、f(x)はx=0でもありうる

最後の三行で微分可能を調べる理由がわかりません。
九行目の『また、f'(0)=0であるから、f(x)はx=0で連続である。』でこれでもう確認されてるんじゃないんですか？
それと、問題分より微分可能な関数ｆ(x)と書いてあるから確認しなくてもいいのではないでしょうか？

説明よろしくおねがいいたします