じゃあan＝(n/(n+1))^nとおいてan+1/anを計算してみてくださいよ
(1/(1+1/n)^n)((1+1/n)^n/(1+2/n)^n)((1+1/n)/(1+2/n))ってなりますから
これはn→∞で(1/e)(e/e^2)*1＝1/e^2＜1なので収束

じゃないんですか？