>>33
午前０時から正午の直前までに何回起きるかを考える。
x時y分（xは0以上11以下の整数、yは0以上60未満の実数）における
短針の位置は　（１2時の方向を０度として）　（30x+0.5y）度　
長針の位置は　　6y　度

よってx時y分の針の位置と　
z時w分（ただしx=<z) の針を長針と短針を入れ替えた物が同じ時は
30x+0.5y=6w, 30z+0.5w=6y が成り立つ。
辺々加えて整理するとx+z= (11/60) (y+w)
左辺は０以上２２以下の整数で、0=<(y+w)<120 に注意すると
(y+w=0かつ　x+Z=0)または（y+w=60 かつx+z=11)が必要。
前者は明らかに不適で、後者のみを考えれば良い。
x、zの条件から、(x,z)=(0,11)(1,10)(2,9)(3,8)(4,7)(5,6)
この６通りで(y,w)が適する解を持つことを確認して答えは６回。