>>319
最初に時計が0時丁度のとき、これは短針長針を入れ替えても時間はわかる。
1時台のときも同じで重なっているときは短針長針を入れ替えも時間は分る。
短針長針が重なるのは1時間に一回。だから、出てきた答えから後で12を引くことにする。
今、x時y分だとしよう。短針は1時間に360度/12進むから、短針の位置は30(x+y/60)である。
長針は60分に360度進むから位置は(360/60)y=6yである。
今、短針長針を入れ替えてx時y分がa時b分と読み取れるとしよう。
ここに、xとaは自然数で0≦x,a≦11、yとbは0以上60未満の数である。
短針の位置は30(x+y/60)でこれが長針になるので位置は6b、よって30(x+y/60)=6b
長針位置は6yでこれが短針になるので位置は30(a+b/60)、よって6y=30(a+b/60)
6y=30(a+b/60)よりy=5(a+b/60)、これを30(x+y/60)=6bに代入して整理するとb=(x+(5/12)a)(144*5/143)
xとaは自然数で0≦x,a≦11だからxとaをb=(x+(5/12)a)(144*5/143)に代入して0以上60未満のbが存在すれば短針長針を入れ替えたとき時間がわからないことになる。
計算結果だけ書くと0時台は12個の解があります。以下、7時台までは12個の解がありますが8時台でbが60を超えるものが2個あり結局解は10個。
9時台、7個。10時台、5個。11時台、3個。
結局解は8*12+10+7+5+3-12=109個となります。