有理数の集合Qが可算無限である証明ってどうやるのが一番簡単でしょうか？

i)ZXZが可算無限集合であることを示す
ii)QがZXZの無限部分集合であることを示す
iii)可算無限集合の任意の無限部分集合が可算無限であることを示す

というのが一番簡単でしょうか？これ以外に簡単，あるいは直接的な解法があったら
知りたいです．後，上のiii)の証明もできたらおおよその方針だけでも教えてください．