>>8
とりあえずxが有理数と無理数の場合に場合分けして
n=2のときのlim{m→∞}(cosn!πx)^m
n=3のときのlim{m→∞}(cosn!πx)^m
n=4のときのlim{m→∞}(cosn!πx)^m
などを計算してみましょう。
　
ただしたぶんこれ出題したひとはちょっと問題。この問題の
lim{m→∞}(cosn!πx)^mはxが有理数のとき不定値になることがあります。
十分大きいnをとるとき不定性は解消されるのでlim[n→∞]の値は定義可能だけど
その解釈が唯一無二のものでないので大学の数学でも一言
｢各xごとにnはlim{m→∞}(cosn!πx)^mが確定値として存在する範囲を動く｣
と書かないとたぶん問題としては成立しません。
受験数学の問題としてはたぶんゆるされないでしょう。