(1)実数の定数pに対して、x^3＋x－p＝0の実数解の個数は１個であることを示せ。
(2)p,qは定数でp≧2、q≧2とする。２つの３次方程式
　　　x^3＋x－p=0 、 x^3＋x－q=0
の実数解をそれぞれα、βとするとき、│α－β│＝(1/4)・│p-q│が成立することを示せ。

阪大の問題です。(1)は簡単に出来ました。
(2)なんですが、α、βをそれぞれ式に代入し２つの三次方程式からp、qをα、βの式であらわして
証明する式に代入してやってみたんですが、うまくいきませんでした。
どのようにやればできるでしょうか？


大学受験板でも聞いたんですが、数Ⅲ(平均値の定理)を用いない解法がわかりません。
これは文系の問題集の問題なので・・・