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【sin】高校生のための数学の質問スレPART29【cos】

■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
0001１３２人目の素数さん2005/06/01(水) 01:19:15
夜､明日提出の宿題をやっているとき

(･∀･)やった!あと1問!
・
・
・
(ﾟДﾟ)ﾎﾟｶｰﾝ
(ﾟДﾟ)ﾊｧ?ﾅﾆｺﾉﾓﾝﾀﾞｲ?
ヽ(`Д´)ﾉｳﾜｧｧﾝ!!ﾜｶﾝﾅｲﾖｫ!!!

･･･てな時に､頼りになる質問スレです｡

・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
　　（× x+1/x+2　；　 ○((x+1)/(x+2)) ）
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。
　　（トリップの付け方は自分で探すこと）
・質問者はあらゆる回答者に敬意を表しましょう。（荒らしはスルーでおながい）
・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。

前スレ
【sin】高校生のための数学の質問スレPART28【cos】
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1116511331/
0153１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 02:37:35
あのね、君、答えてる俺に失礼だよ馬路死ね。かなり頭来た
0154１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 02:38:50
>>152

553 名前：542[sage] 投稿日：2005/06/04(土) 02:33:01 ID:ZPEIo4ah0
とりあえず頑張ってみます

ほうほう。
お前の｢ガンバル｣つーのは
マルチのことかい。
0155１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 02:40:30
>>153
ID:ra9sQVZM0　ｷﾉﾄﾞｸｰ。

お前がｶﾞﾝｶﾞｯﾃるから
向うでの口出しを控えてたんだが
こういう奴だったとは。
0156１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 02:41:30
>>154
このスレもうつぶそうぜ。数板に幻想抱きすぎ
01571552005/06/04(土) 02:44:47
>>156
しかし、このスレがないと
｢わからない｣や｢分からない｣スレに
高校生が乱入してくるからなあ。

え？既に乱入してると？
まったく困ったもんです。
0158１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 02:46:00
大体、高校生がネットで質問するってこと自体バカげてないか？
わからないんなら、学校や予備校で先生に質問すればいいこと。
0159１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 02:47:35
まあ、いいよ。傾きにどうしても目がいって、素直に割らなかった俺の負けさ
0160１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 02:48:24
>>151
たぶん、その前に　x^3+y^3　とか
求めさせてるんじゃねーのか？

問題を省略する奴は力が伸びない点留意すべし。

まあ、求めさせてなくても
ｺﾚを求めときゃ何とかなるんだがな。
0161１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 02:49:58
ｘｙも追加してくれ
01621552005/06/04(土) 02:51:41
>>159
俺も、α^2+αβ+β^2+1　作る前に
一瞬、α^3+αで
相加相乗なんか思い浮かべたがな。

解けなくはないがロスが大きかった。
0163１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 02:54:19
>>161
んだな。

設問の流れとしては
(1)　xyを求めよ
(2)　x^3+y^3 を求めよ
(3)　x^7+y^7 を求めよ

ってなところだろう。
0164１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 02:57:03
礼儀をわきまえない工房が多すぎ。
01651512005/06/04(土) 02:58:12
>>160
問題は省略していません。いきなり、x^7+y^7です。
x^3+y^3　を使うのですね。やってみます。
0166１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 03:24:01
>>151
x+y=2と ｘ^2+y^2=2でx,y決まってんじゃん。
01671602005/06/04(土) 03:30:17
>>166
わはは。
そこまで簡単な問題だったとは。
気づけよ、俺。

どうも、頭が少し固くなっていたようだ。
0168１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 03:38:15
>>163
ありがとうございます。(1)から(3)の導き方で何とかいけそうです。

一応(1)xy=-1/2 (2)x^3+y^3=5/2 (3)x^7+y^7=29/8 となりましたが、
(3)は計算が間違っている気がするので、もう一度やってみます。
勉強になりました。感謝します。
0169１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 03:43:46
>>168
x+y=2と ｘ^2+y^2=2に1,1を入れたらどうなるか計算してみよろ。
0170１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 03:44:15
>>166
そのほうが計算が簡単とは限らん、
と書いて式を良く見たら…何コレ…。
01711512005/06/04(土) 03:46:21
あ、もうホントに済みません。問題間違えてました。
穴があったら・・・
訂正します。
「x+y=1 x^2+y^2=2　の時 x^7+y^7 を求めよ。」でした。
0172160=1632005/06/04(土) 03:50:01
>>168
あー、悪い。
この問題はその手の誘導が必要ないくらい簡単な問題だ。

とりあえず、どちらかの文字を消去して整理してみ。
あきれるから。

ちなみに(1)からして間違っとるぞ。
01731722005/06/04(土) 03:51:24
ばかやろー。
問題が違ってたら意味ねーじゃん。

もう知らん。勝手に解け。
0174１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 03:54:50
おまいらおもろいなｗ
01751512005/06/04(土) 03:55:55
はい。ばかやろです。陳謝です。勝手に解きます。
でも、ありがとうございました、です。
0176１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 04:40:58
>>175
x,yはx+y=1　直線及び x^2+y^2=2　円を満たす値だから2点で交差しx,yはその座標。
x^7+y^7だけど直接交点の座標を代入したんでええんでないの？
(1+√3)^7みたいなのを計算しなくちゃならんけど２項定理でやったらそんなに手間とらんと思うけどな。
0177１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 04:49:35
>>176
まあ、わざわざ図形的に考えんでも
代入して文字減らせばいいだけの話だがな。
0178１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 05:07:00
a_n=x^n+y^n とおくと、数列 a_n は漸化式 a_{n+2}=a_{n+1}+(1/2)a_n を
満たすことを使えば、計算の間違いがより避けられると思う。

a_1=1, a_2=2, a_3=5/2, a_4=7/2, a_5=19/4, a_6=13/2, a_7=71/8.
0179１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 05:12:29
こんな時間にかぶりそうになるとは。
カキコ前にリロードして驚いたよ。
0180１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 06:44:18
おいおい、ここは数学板ですよ
0181GreatFixer ◆ASWqyCy.nQ 2005/06/04(土) 07:10:28
Re:>>147 x,yが実数で、iは虚数単位のとき、exp(exp(x+iy))=exp(exp(x)(cos(y)+isin(y)))=exp(exp(x)cos(y))(cos(exp(x)sin(y))+isin(exp(x)sin(y))).
0182GreatFixer ◆ASWqyCy.nQ 2005/06/04(土) 07:11:32
別にx,yは複素数でもいいんだな。説明の便宜のために「実数とする」を付け加えよう。
0183 ◆xf1al0.8aY 2005/06/04(土) 10:40:24
解答ではなく、ヒントというか、方針だけでいいんですけど、
『n次の整式f(x)が連続するn+1個の整数xに対して全て整数の値をとる時、f(x)は全ての整数xにおいて整数となることを示せ』
この問題でn次の整式をどう表現したらいいか困ってます。
お願いします
0184１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 11:06:22
>>183
Σ[k=0～n]a_n x^n
ただし a_n≠0 , x^0=1
0185１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 11:08:16
>>183
Σ[k=0～n]a_k x^k
ただし a_n≠0 , x^0=1
0186 ◆xf1al0.8aY 2005/06/04(土) 11:16:28
サンクス。やっぱそれかぁ。
昨日それで頓挫したんだけどもう一度やってみます。
それでもわからなかったらまた聞きにきますね。
0187１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 12:27:14
次の等式を証明せよ。
cos(α+β)sin(α-β)＝sinαcosα-sinβcosβ

４ステップのB問題ですら毎回四苦八苦してます・・。
レベル低すぎるかもしれませんがよろしくお願いします。
0188１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 12:43:06
>>187
それってかほう定理から証明しろってこと？そうじゃないなら和積公式で使うだけだよ。
それより>>183がわからん。有名問題っぽいけど。どうすんの、これ？
0189１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 12:46:03
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-sinαcosβ
を掛け算して式を整理する

0190１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 13:10:13
>>183
g(x)=f(x+1)-f(x)とするとg(x)はn-1次式
これを利用して次数について数学的帰納法を使う。
0191１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 13:31:41
>>190
f(x+1)-f(x)は常に整数は出たんだけど、こっからどうしましょう
0192１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 14:10:54
「f(x)の係数は全て整数」は言えないのかな
0193１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 14:19:10
>>192
x(x+1)/2とか。
0194１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 14:32:35
うほっ・・・いい反例
0195１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 15:02:46
中学生レベルで申し訳ないんですが、

x=2y
x=2+z
3x=6+y+z

x,y,zを求めるにはどう計算すれば良いのですか？
0196１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 15:06:28
>>195
普通に連立方程式を解く
0197１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 15:19:33
>>191
あるpについてf(p)が整数ならば
f(p+1)=f(p)+g(p)
f(p+2)=f(p+1)+g(p+1)
………

f(p-1)=f(p)-g(p-1)
f(p-2)=f(p-1)-g(p-2)
………
0198１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 15:20:15
x=2y (1)、x=2+z (2)、3x=6+y+z (3) 、(3)のy,zをxに置き換えて、3x=6+(x/2)+(x-2)　⇔　x=8/3
(1)からy=4/3、(2)からz=2/3
0199187です2005/06/04(土) 15:25:48
>>188、
>>189さん
その和積公式にいれて計算したんですが、
＝(cosαcosβ-sinαsinβ）（sinαcosβ-cosαsinβ）
＝sinαcosαcos^2β-sinβcos^2αcosβ-sin^2αsinβcosβ+sinαsin^2βcosα

?????ぅわわわぁぁ('A`) となるんですガ・・。
0200１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 15:29:25
>>198
ありがとうございます！！

y,zをxに置き換えるんですね、気付きませんでした！
0201１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 15:32:23
>>199
?????ぅわわわぁぁ('A`) となるなよｗ
そこまで行けば、導きたい式と見比べてもう少しｶﾞﾝｶﾞﾚ。
ちなみにそれは和積じゃなく、ただの加法定理だ。
0202１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 15:40:25
この程度の計算でへばってんじゃ話にならん
0203１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 15:55:57
sin^2(x)+cos^2(x)=1　の形へ持ち込む。
0204187です2005/06/04(土) 16:48:32
sin^2(-αsinβcosβ+βsinαcosα）+cos^2(-αsinβcosβ+βsinαcosα）＝１
＝βsinαcosα-αsinβcosβ


βとα邪魔（´･ω･`)
0205１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 16:54:46
＝sinαcosαcos^2β-sinβcos^2αcosβ-sin^2αsinβcosβ+sinαsin^2βcosα
= sinαcosαcos^2β+sinαsin^2βcosα - sinβcos^2αcosβ-sin^2αsinβcosβ
= sinαcosα(sin^2β+cos^2β) - sinβcosβ(sin^2α+cos^2α)
0206187です2005/06/04(土) 17:00:13
あーーーー(ﾟДﾟ)

やっとわかりました。
自分のへんなくくり方・・・。
ありがとうございました！
0207お願いしますm(__)m2005/06/04(土) 17:23:46
サイコロを、前の数の約数が２回連続で出るまで投げ続ける。 たとえば、６→３→１、４→２→２、など。 これがちょうど５回で終わる確率を求めよ。
0208GreatFixer ◆ASWqyCy.nQ 2005/06/04(土) 17:41:53
Re:>>207 さっき同じ問題を見たぞ。私がどこかで出したヒントを使えばとけるはずだ。
0209１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 17:46:45
a>0,b>0 のとき(1+a/b)(1+b/a)≧4　を証明するんですが
(1+a/b)(1+b/a)　=1+b/a+a/b+1　=2+b/a+a/b
a>0,b>0より　b/a>0,a/b>0なので…

ここまではわかります。

2+b/a+a/b≧2+2√b/a･a/b　=4となるらしいのですが、
右辺がどうしても理解できませんorz
相加平均≧相乗平均を使うことはわかるので、

(2+a/b+b/a)÷2≧√2･a/b･b/a
2+a/b+b/a≧2√2･a/b･b/a

となると思ったんですがどこを間違ってるんでしょうか？
低レベルかもですがよろしくお願いします。
0210GreatFixer ◆ASWqyCy.nQ 2005/06/04(土) 17:50:45
Re:>>209
三項だと、a>0,b>0,c>0のとき、a+b+c≥3(abc)^(1/3)となる。
0211１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 18:01:36
>>209
そもそも相加相乗平均関係は
a+b≧2√ab （a＞0,b＞0） ですよ
aにa/b　bにb/a　を代入すれば

（a/b）+（b/a）≧2√｛（a/b）*（b/a）｝
（a/b）+（b/a）≧2√1
（a/b）+（b/a）≧2

じゃあ
2+（a/b）+（b/a）≧4
は明らか
02122092005/06/04(土) 18:02:31
>>210さん
すみません、理解できませんでした…('A`)
02132092005/06/04(土) 18:04:12
あ、すみませんわかりましたorz
2+a/b+b/aの2は無視していいんですね。
ありがとうございました！
0214教えてｸﾝ2005/06/04(土) 18:14:28
直線ｘ+2ｙ-5=0が円(ｘ-2)＾2+(ｙ+1)＾2=9によって切り取られる弦の長さを求めよ

接点を(ｘ1,ｙ1)と置くと
接点は円上にあるから(ｘ1-2)＾2+(ｙ1+1)＾2=9①
また接点は直線上にあるからｘ1+2ｙ1-5=0②
②を①に代入して

(ｘ1,ｙ1)=((15+(2√5))/5,(5-(2√5))/5),((15-(2√5))/5,(5+(2√5))/5)

よって切り取る線分の長さは
√((((15+(2√5))/5)-(15-(2√5))/5)＾2+(((5-(2√5))/5)-((5+(2√5))/5)＾2)
=√(208/5)

↑自分の解答
でも答えは4。。。

orz
0215１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 18:39:18
>>214
点と直線の距離と三平方の定理を使えば簡単。
0216１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 19:04:36
>>215
解答もそうでしたが…

>>213
はどこか間違ってますでしょうか？
0217１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 19:18:29
分からないところが出てきたので、御願いします

a_1=2

a_(n+1)=2a_n+2^n (n>=1)

で定義される数列の一般項を求めよ。

この問題が分かりません。
おねがいします。
0218１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 19:19:41
a_(n+1)=2a_n+2^n (n>=1)
この式の(n>=1) は離れたところに書いていた条件みたいなやつです。式のなかの数字じゃないです。
0219１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 19:22:16
すみませんι
どうしても解けないので教えて下さい。
↓
次の式を因数分解せよ。
8a③-36b②+54a-27

③と②はそれぞれ、3乗と2乗です。
0220１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 19:23:34
>>216
ただの計算ミスだろ。x座標が間違ってる。
0221１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 19:23:37
>>214
(ｘ1,ｙ1)=((5+(2√5))/5,(15-(4√5))/5),((5-(2√5))/5,(15+(4√5))/5)
になりませんか？
0222１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 19:26:08
221はx1とy1が逆ね。
0223１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 19:30:03
>>217
両辺を2^(n+1)で割って、b_n=a_n/(2^n)とおく。
0224１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 19:39:45
>>219
(x+y)^3=x^3+3x^2･y+3xy^2+y^3使え
02252142005/06/04(土) 19:47:45
自己解決しまつた
ありがとう
0226１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 20:06:47
あ
0227１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 20:09:15
>>224
8a^3-36a^2+54a-27だったら(x+y)^3で解けるのですが、
8a^3-36b^2+54a-27なんで解けないんですよι
0228１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 20:16:30
ぅざぃょ。しｎで
0229１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 20:19:49
xy平面上に３点、A（a,b）、B(c,d)、P(0,t)がある。 平面上のＱはＡＰ・ＢＱ＝１(内積)を満たす。 tを固定する時、Ｑの存在範囲を求めよ。
0230１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 20:56:00
授業でハショられたorz
婆^2=1/6(n+1)(2n+1)の公式について質問です。(すべて狽ﾍk=1項目から第n項までの和)
教科書には
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1　－①
各辺々を加えると
(n+1)^3-1^3=3婆^2+3婆+1　－②
整理すると最初に書いた公式になるみたいなんですが
①から②の式へといく過程をどなたか詳しく教えてください。
0231１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 21:03:25
>>230
文字通り①がn=1の場合、n=2の場合,,,をそれぞれ足すと
左辺は端だけのこって(n+1)^3-1^3になる
0232教えてｸﾝ2005/06/04(土) 21:11:36
直線における2定点において内分点外分点を求める公式って
2定点A(ｘ1ｙ1)B(ｘ2ｙ2)としｍ：ｎとすると

(ｍ*ｘ2+ｎ*ｘ1)/(ｍ+ｎ)，(ｍ*ｙ2+ｎ*ｙ1)/(ｍ+ｎ)

ですよね？それを、
(ｍ*ｘ1+ｎ*ｘ2)/(ｍ+ｎ)，(ｍ*ｙ1+ｎ*ｙ2)/(ｍ+ｎ)
って言うように変えてもいいんですか？
ABは別にA<Bとも断ってないようなんですが、
変えていけないんだったらA<Bのときしか成り立たなくなりますよね？

0233１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 21:12:16
>>230
((n+1)^3-n^3)+(n^3-(n-1)^3)+…+(3^3-2^3)+(2^3-1^3)
=(n+1)^3+(n^3-n^3)+((n-1)^3-(n-1)^3)+…+(3^3-3^3)+(2^3-2^3)-1^3
=(n+1)^3-1^3
0234１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 21:12:38
>>231
①の左辺である 3n^2+3n+1 の各辺々の和は
3婆^2+3婆+1 であることは分かるんですが
①の右辺である (n+1)^3-n^3 の各辺々の和が
なぜ②の左辺になるのでしょうか？
0235１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 21:14:15
>>232
x1⇔x2　y1⇔y2だけじゃ足りないよ。m⇔nも入れ替えなきゃダメ。
そうすると結局元の式と同じになる。
0236１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 21:20:23
>>183
帰納法を使わない証明。

連続する n+1 個の整数 i,i+1,...,j,...,k-1,k のうち、j で 1 他の n 個で 0 となる
n 次式 f_j(x) は Lagrange の補間公式で具体的な形が示されている。

この具体的な表示を用いると、整数 m での値 f_j(m) は、
m>k のときC[m-j-1,k-j]C[m-i,j-i] の ±1 倍
i≦m≦k のとき、1 または 0
m<i のときC[k-m,k-j]C[j-m-1,j-i] の ±1 倍
でいずれも整数。

一般の場合は、f_j(x) (i≦j≦k) の整数倍の和の形なので、これも整数値を取る。
0237１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 21:21:25
f(x)が次数2005で、f(k)=1/k (k=1,2,……2006)が成り立っているとき、
f(2007)を求めよ。
0238１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 21:26:23
>>233
ご丁寧にどうもです。やっと理解できました

>>230さんにも感謝
0239１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 21:30:23
>>235
なるほど！
ありがとう！
02402322005/06/04(土) 21:37:15
いや、ちょっと待って、ってことは結局ｍ*ｘ2とｎ*ｘ1はこれで1セットなの？
ってことは2点A、Bは必然的にA<Bになるってこと？
0241１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 22:32:45
>>240
何か誤解しているな。
例えばABを1:2に内分する点というのは、BよりもAに近いだろ？
似てるけどBAを1:2に内分するなら、AよりもBに近い。
BAを2:1に内分するなら、ABを1:2に内分するのと同じ。
そういう意味で、順番が重要だけど、全部ひっくり返せば同じことだよ。
0242１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 22:47:09
>>241
比はｍ：ｎにしてます。
2定点A(ｘ1ｙ1)B(ｘ2ｙ2)としｍ：ｎを
B(ｘ1ｙ1)A(ｘ2ｙ2)にしてもいいんですか？
0243１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 22:52:44
>230
Σk^nは高々k^(n+1)の多項式だから係数を連立方程式で解けばいい。
0244１３２人目の素数さん2005/06/04(土) 23:58:28
なんで積分したら面積でるの？
0245１３２人目の素数さん2005/06/05(日) 00:03:58
>244
定義
0246１３２人目の素数さん2005/06/05(日) 00:04:30
いやいや。
02472462005/06/05(日) 00:05:25
>>245　あ。ま。そっか。
0248１３２人目の素数さん2005/06/05(日) 00:14:11
その説明は誤解するだろ。
0249１３２人目の素数さん2005/06/05(日) 01:03:01
>>244
そうとも限らん。

ｅｘ.．y<0部分の積分。
0250１３２人目の素数さん2005/06/05(日) 01:43:53
>>249
う～む。ネタなのか本気なのか。
0251１３２人目の素数さん2005/06/05(日) 03:35:03
まあいずれにしろ、単純に積分=面積、つーのはマズイだろうな。

∫[0、π]cos(x)dx なんてのを見るまでもなく。

>>244がそこまでわかってて聞いてるのかどうかは不明だが。
とりあえず区分求積法から教えなきゃならんかのう。
0252１３２人目の素数さん2005/06/05(日) 03:36:24
符号付面積
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