>>817
φ(a)＝∫_0^π　log(1-2a*cosx+a^2)dx　を a で微分。
φ'(a)＝∫_0^π　{2(a-cosx)/(1-2a*cosx+a^2)} dx
t=tan(x/2) とおいて整理する。
φ'(a)＝ 4∫_0^∞　{(a+1)t^2+(a-1)}/[{(a+1)^2t^2+(a-1)^2}(t^2+1)] dt
=4∫_0^∞　[{(a-1)/(2a(a+1))}*1/{t^2+((a-1)/(a+1))^2} + (1/(2a))*{1/(t^2+1)}] dt
=4[{(a-1)/(2a(a+1))}*{|(a+1)/(a-1)|}(π/2) + 4(1/(2a))*(π/2)
=(2π/a)*{(a^2-1)/|a^2-1| + 1}

φ(0)＝ 0 だから
φ(a)＝2πlog|a| * {(a^2-1)/|a^2-1| + 1}