>>541
∠QAB=∠CAP であるような半直線AQを引き、B,CからAQに下ろした垂線をBE,CFとする。
2角相等により △ABE∽△APM ∴ PA･BE=c･PM
2角相等により △ACF∽△APN ∴ PA･CF=b･PN
∴　PA = (c･PM+b･PN)/(BE+CF).
ところが、半直線AEFと辺BCとの交点をQとすると, BE + CF ≦ BQ + QC = BC = a.
∴　PA ≧ (c/a)PM + (b/a)PN.
循環的に加えれば　PA+PB+PC ≧ (c/b +b/c)PL +(a/c +c/a)PM +(b/a +a/b)PN ≧ 2(PL+PM+PN).
等号の成立は △ABCが正三角形で, Pがその中心 という場合だけ。[東山和雄氏による]

〔参考文献〕
[不等式スレッド.813-814]
｢数学の問題 第(1)集｣ No.53 日本評論社(1977) [数セミ,４０(2) (2001,Feb.)で再出題]
"P.Erdosの問題" Mordell: Amer.Math.Monthly (1935) → 大関:｢不等式への招待｣ p.14 近代科学社(1987.12)