>>389 >>420
こういうの、おじさんの若いころは随伴微分方程式といった
ものです。L(y)=0 を直接解くかわり、zL(y)-yM(z) = (d/dx)N(y,z)
となるM(z) と N(y,z) を見つけ、M(z)=0 の解から L(y)=0の
解を求めれば、微分方程式の階数を一つ下げることができます。
M(z) ないし N(y,z)が簡単になることなどが条件です。

この問題の場合、M(z) = z'' - a^2 z となりますので、
この解のひとつは z = exp(ax) と簡単に求まります。
これを使って (d/dx)N(y,z) = 0 を解くのですが、これは
積分できて、結局
N(y,z) = N(y, exp(ax))
= x^2(y' exp(ax)-ay exp(ax)) + 2xy exp(ax) = c (cは定数)
という一階方程式にできます。整理すれば、
x^2 y' + x(2-ax)y = c exp(-ax)
を解けばよいわけです。これは斉次形で解いて定数変化法など
で一般解が得られ、y = (d/x^2)exp(ax)-(c/(2ax^2))exp(-ax)
となります（dは積分定数) が、定数を c1, c2として整理しな
おせば、L(y) = 0 の一般解は
y = (c1 exp(ax) + c2 exp(-ax))/x^2.