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【sin】高校生のための数学質問スレPart22【cos】

レス数が900を超えています。1000を超えると表示できなくなるよ。
0001１３２人目の素数さん05/03/11 22:25:21
夜､明日提出の宿題をやっているとき

(･∀･)やった!あと1問!
・
・
・
(ﾟДﾟ)ﾎﾟｶｰﾝ
(ﾟДﾟ)ﾊｧ?ﾅﾆｺﾉﾓﾝﾀﾞｲ?
ヽ(`Д´)ﾉｳﾜｧｧﾝ!!ﾜｶﾝﾅｲﾖｫ!!!

･･･てな時に､頼りになる質問スレです｡

・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
　　（× x+1/x+2　；　 ○((x+1)/(x+2)) ）
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。
　　（トリップの付け方は自分で探すこと）
・質問者はあらゆる回答者に敬意を表しましょう。（荒らしはスルーでおながい）
・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。
0830１３２人目の素数さん2005/03/22(火) 21:04:54
＞８２０つづき
微小体積dVを求めよと言われたら
dV=dxdydz
dzはゼロみたく小さいので
dV=dxdydz≒xydz
dV=xydz
でも数学的に可

こういう感じで単純化することはよくある。
意味的には
前者は相似で微小な直方体、後者は元の直方体を厚さdzにスライスした感じになる。
微小体積と言われたらスライスした感じにするのが基本。（dV=スライスした１枚）

同様に一辺xの立方体だと
dV=x^2dx
半径r、高さxの円柱だと
dV=πr^2dx
いずれもスライスしております。
終わり。工房のためのdの説明補足ｷﾎﾞﾝ
0831１３２人目の素数さん2005/03/22(火) 21:08:34
>|x-a|<4⇒-4<x-a<4 となるのでしょうか

これは正しい
0832１３２人目の素数さん2005/03/22(火) 21:20:02
>>825
1からnまでの自然数を適当な順序に並べる
次の条件を満たす並べ方をa(n)通りとする。
(a) 1≦i≦nのとき　i番目の数≧i
(b) i=nのとき　n番目の数≦n
k番目にnがあったとしよう。
k+1番目〜n-1番目は１通りに定まる。・・・
0833 ◆27Tn7FHaVY 2005/03/22(火) 21:20:29
>>823
とりあえず、問題の意味がはっきりしないので勝手に解釈して
512通りでいい？
0834１３２人目の素数さん2005/03/22(火) 21:21:29
>>823
1からnまでの自然数を適当な順序に並べる
次の条件を満たす並べ方をa(n)通りとする。
(a) 1≦i≦n-1のとき　i番目の数≧i
(b) i=nのとき　n番目の数≦n
k番目にnがあったとしよう。
k+1番目〜n-1番目は１通りに定まる。・・・
0835BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU 2005/03/22(火) 21:27:14
Re:>770,795 お前誰だよ？
Re:>825,833 ふーん。
0836BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU 2005/03/22(火) 21:27:44
とある者の書き込み防止対策。
0837 ◆27Tn7FHaVY 2005/03/22(火) 21:29:36
>>835
やはり、この答は駄目か？
0838１３２人目の素数さん2005/03/22(火) 21:32:53
>>836
m9（^Д^）ﾌﾟｷﾞｬー
0839１３２人目の素数さん2005/03/22(火) 21:33:13
>>829
すみません、入力ミスですね。
|A|<k⇒-k<A<k は成り立つのでしょうか。

>>831
|x-a|<4⇒-4<x-a<4 は成り立ちますか。ありがとうございました。
0840１３２人目の素数さん2005/03/22(火) 21:35:11
>>823
9番目､8番目、7番目・・・、1番目、１０番目の順に数を決めていく。
0841１３２人目の素数さん2005/03/22(火) 21:39:40
>>839
それなら成り立ちます
0842１３２人目の素数さん2005/03/22(火) 22:30:41
>>824もしi>-iと仮定する。
すると両辺にiを加えて2i>0となり故にi>0が成立する。
そこで元の式の両辺に正の数iを掛けても不等号の向きはそのままなので
-1>1となり、矛盾する。
これは最初にi<-iと仮定しても同様に矛盾を発生する。
このように複素数についてはいかなる大小関係も矛盾無く定義することはできない。
0843１３２人目の素数さん2005/03/22(火) 22:39:05
積で大小関係が保存されることを
要求しなければ定義できるけどね
0844べーた2005/03/22(火) 22:44:27
loga (n√)m=1/n loga M
と、
logc a^p=plogc a
を証明してくださいませんか？
0845１３２人目の素数さん2005/03/22(火) 22:47:52
行列の有名問題についてですが、整式x^n(n≧2)=(x^2-x-12)Q(x)+ax+b (a,bは計算で求められる）
が成り立つとき、行列A=M_1[2,5]M_2[2,-1]に対して、HCよりA^2-A-12E=O
また、x→A,1→E,0→O　と置き換えて、A^n=(A^2-A-12E)B+aA+bE=aA+bE
(Bは2次の正方行列）が成り立つことが言えるという問題に関して、なぜ整式
をそのまま行列式にスライドできるのかがｲﾏｲﾁ、ピンと来ません。感覚的には文字を
変えるだけだし、1×1行列[x]などを代入してみて、掴めることは掴めるのですが、
はっきり成り立つと言うことが理解し難いのです。
0846１３２人目の素数さん2005/03/22(火) 22:51:47
解法と解答をお願いします。

1.方程式　　x=e^2x　　　を解け。
2.lim[x→∞](x/logx) 　を求めよ。
0847１３２人目の素数さん2005/03/22(火) 23:01:06
>>844
t=logc a とおくと c^t=a
a^p=(c^t)^p=c^(pt)
よって
logc a^p=pt=plogc a
上はこれの応用

>>845
行列式でなく行列
実際には変数xに行列Aを代入できるわけではない
ただ、行列が交換可能なものだけのときは、
整式と同じような計算法則が行列でも成り立つので、
その式が成り立つ

>>846
1、ムリ
2、t=logx とおくとx→∞のときt→∞、lim[x→∞](x/logx)=lim[t→∞](e^t/t)
でe^t≧1+t+t^2/2
0848１３２人目の素数さん2005/03/22(火) 23:19:30
>>846
1.解なし
0849１３２人目の素数さん2005/03/22(火) 23:21:23
|a^n|=|a|^n　（n）ですか？
0850１３２人目の素数さん2005/03/22(火) 23:24:24
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0851849訂正2005/03/22(火) 23:27:18
|a^n|=|a|^n　ですか？
0852１３２人目の素数さん2005/03/22(火) 23:27:39
>>851
そう
0853１３２人目の素数さん2005/03/22(火) 23:29:48
>>852
ありがとうございます
0854１３２人目の素数さん2005/03/22(火) 23:38:13
>>847
なるほど可換ってことですね。どうもです。関連するんですが、1×1行列[k]は
実数kとは異なりますよね？1×1行列[k]は括弧を省略して、単にkと表記する
ことがままありますが。実数kという意味ではないですよね？行列は列数と行数が
異なると積が考えられないので…。
0855１３２人目の素数さん2005/03/22(火) 23:43:12
0に何かを掛けて必ずしも0じゃないって証明したいんだけど、なんかあるかな？
0*n=0じゃない
0856１３２人目の素数さん2005/03/22(火) 23:44:59
０＊∞,0*1/0
0857１３２人目の素数さん2005/03/22(火) 23:45:35
>>845
整式は関数とみなすことができるわけだが、その関数の定義域をどのような集合にとるかの問題。
そもそも整式の定義は、変数 x に対してその値をそのまま対応させる f(x)=x という関数に対して
その関数に定数倍、和、積の3種類の演算を有限回ほどこすことによって得られる関数を整式と呼んでいるわけだ。
で、整式に関するあらゆる性質はこの定義のみから導かれている。
ということは、整式の定義域としてとれる集合は定数倍、和、積の演算が行えるような集合であればなんでもよいわけだ。
ということで、定義域として特定のサイズの正方行列全体の集合をとることもできる。
ただしこの場合の和と積は交換可能なものだが、１変数なら交換可能なので問題ない。

…高校生相手だとざっくばらんな言い方になるな。変なこと言ってるかもしれん。
大学の線型代数できちんと学ぼう。

>>854
実数 k と１×１行列 [k] は異なるものだが、同一視することができる。
同一視を通して同じものとみなして、同じ記号で表すこともままある。
同一視とは厳密にはどういうことなのかは大学の（略
0858１３２人目の素数さん2005/03/22(火) 23:45:55
>>855
0に何かをかけても0じゃない例を教えて
0859１３２人目の素数さん2005/03/22(火) 23:48:00
>>830
ああ！ なんとなくわかってきました．スライスですね．
ありがとうございました．
0860１３２人目の素数さん2005/03/22(火) 23:51:58
855じゃないけど、0^0って何？
0861１３２人目の素数さん2005/03/22(火) 23:53:25
>>860
0^0 Part 2
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1093253262/
0862１３２人目の素数さん2005/03/22(火) 23:54:22
>>860
極限を取った場合だけど
lim[x→+0]x^x=1
0863１３２人目の素数さん2005/03/22(火) 23:54:56
i^i,i!
0864１３２人目の素数さん2005/03/22(火) 23:55:54
>>861
ｱﾘｶﾞﾄ。
この板初めてだったからろくに見てなかったんだ(´･ω･｀)
0865１３２人目の素数さん2005/03/23(水) 00:07:50
x^n+ y^n=z^n
の答えわかる人いますか？？
0866１３２人目の素数さん2005/03/23(水) 00:11:37
>>862
本来(x→0,y→0)x^yと置くべきで、
これはxとyの関係次第で値が変わる不定形だと思う
0867 ◆27Tn7FHaVY 2005/03/23(水) 00:14:24
>>865
x=y=z=0
0868１３２人目の素数さん2005/03/23(水) 00:26:13
>>866
(x→0,y→0)x^yも(x→0)x^xも同じ
0^0の不定形
0869１３２人目の素数さん2005/03/23(水) 00:32:19
Σ[k=1,n]a[k]=S[n]のとき

lim[n→∞]S[3n]=lim[n→∞]S[3n+1]=lim[n→∞]S[3n+2]=lim[n→∞]S[n]

となりますか？
0870１３２人目の素数さん2005/03/23(水) 00:38:09
なる
0871１３２人目の素数さん2005/03/23(水) 00:42:55
ならんよ。
0872１３２人目の素数さん2005/03/23(水) 00:44:31
なることもある。
0873１３２人目の素数さん2005/03/23(水) 00:45:25
ならないこともある。
0874 ◆27Tn7FHaVY 2005/03/23(水) 00:48:44
好き嫌い好き嫌い好き嫌い・・・・・好き？
08758702005/03/23(水) 00:49:04
そうか、ならんこともあるか。吊ってくる。
0876１３２人目の素数さん2005/03/23(水) 01:31:44
>868
xlogx→0　(x→0)だから
lim[x→0]x^x=1
だろ

0877１３２人目の素数さん2005/03/23(水) 01:37:33
？
0878１３２人目の素数さん2005/03/23(水) 02:31:41
lim[x→0]x^x=0だが、lim[x→0,y→0]x^yは不定。以上終了。
次の質問ﾄﾞｿﾞｰ
0879１３２人目の素数さん2005/03/23(水) 02:32:30
０＾０＝１。
0880１３２人目の素数さん2005/03/23(水) 02:36:40
>>878
藁
0881１３２人目の素数さん2005/03/23(水) 03:46:09
lim{x→π/2](1+cos2x-sin2x)/cosx
これの解き方教えてください。お願いします。
0882１３２人目の素数さん2005/03/23(水) 03:48:12
↑の求めるのは極限値です
0883１３２人目の素数さん2005/03/23(水) 04:06:06
>>881
cos2xとsin2xをcosx,sinxで表せば
後は簡単
0884１３２人目の素数さん2005/03/23(水) 07:58:56
無限級数Σ[k=1,∞](r^k)cos{(3/k)π}の収束、発散を調べ、収束するときはその和を求めよ。ただし、rは実数の定数である。

答え
r≧1,r≦-1のとき　発散
-1＜r＜1のとき　r(1-2r)/2(1-r+r^2)　収束

よろしくお願いします。
0885１３２人目の素数さん2005/03/23(水) 08:25:44
>>884
間違いだらけ。
0886１３２人目の素数さん2005/03/23(水) 14:17:03
0ﾟ≦θ≦180ﾟ
{(cosθ)^2}+cosθ=1/2
4*{(sinθ)^4}+2*{(sinθ)^2}=x
xを求めよ
0887１３２人目の素数さん2005/03/23(水) 14:25:10
>>886
{(cosθ)^2}+cosθ=1/2 から解の公式で
cosθ=(-1±√3)/2　…(*)
0ﾟ≦θ≦180ﾟのときどちらの値もとりうる。
sin^2=1-cos^2使って
4*{(sinθ)^4}+2*{(sinθ)^2}
をcosだけの式にして)(*)を代入
0888１３２人目の素数さん2005/03/23(水) 15:02:39
「x^2+1/(x^2)=6のとき、x^3-1/(x^3)の値を求めよ。ただし、0<x<1とする。」っていう問題なんですが
自分はまず
x^2+1/(x^2)=6を変形して
(x-1/x)^2=4
よってx-1/x=±2 〜(1)
そしてx^3-1/(x^3)を変形して
(x-1/x)^3-3(x-1/x)として
(1)を上の式に放り込んだところ、値は2と-2となりました。
値が二つもでたので問題を読むと「ただし、0<x<1とする。」という条件がありました。
それで(1)の部分でどちらかの値が不適なのかなと思ったんですが
それはどのように導きだせばいいのでしょうか？
しかも解答を見ると値は-14となっていました。どこか間違っているでしょうか？
0889１３２人目の素数さん2005/03/23(水) 15:11:09
>>888
＞(x-1/x)^3-3(x-1/x)として
ここが間違っている。

x<1 , 1/x>1 より x-1/x<0
08908872005/03/23(水) 15:23:07
>>889
あっ、x^3-1/(x^3)=(x-1/x)^3+3(x-1/x)ですね＾＾；
うっかりミスでした。すみません
＞x<1 , 1/x>1 より x-1/x<0
かなりわかりやすい説明ありがとうございます。なるほどぉ・・
これは閃きがなかったです。自分の演習量が足りなかったです。
本当にありがとうございました
0891１３２人目の素数さん2005/03/23(水) 15:23:48
↑ミスです
888の者でした
0892BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU 2005/03/23(水) 17:07:13
Re:>857 1は整式ではないのか？
0893BlackLightOfStar ◆q1FBdU2cQU 2005/03/23(水) 17:13:20
>>892
いい加減人の名前騙るのをやめろ
0894べーた2005/03/23(水) 17:19:48
3<√10<4を小さい順に並べる。
x=log5 xは増加関数だから
log5 3<log5 √10<log5 4
についてなんですが、なぜ、x=log5で、5を使うんでしょうか？？
あと真数って何でしょう？？
あと常用対数表の見方がよくわからないのですが。。
0895１３２人目の素数さん2005/03/23(水) 17:27:07
>>894
５を使ってもよいから使ったのだろうきっと。
真数とは log[a](b) の b の部分
表の使い方くらい教科書嫁。検索汁。
0896１３２人目の素数さん2005/03/23(水) 17:29:02
(x+y)x+(x+y)yを因数分解して(x+y)２乗になるプロセスをおせーてください。
0897１３２人目の素数さん2005/03/23(水) 17:29:50
>>896
x+y=A とおく
0898１３２人目の素数さん2005/03/23(水) 17:35:08
Ax+Ayになった。その後は？　てか回答はや
0899べーた2005/03/23(水) 17:35:36
>>895
5以外でもいいんですか？
真数ってそういうのなんですか。教科書説明載ってないのに出ていたので焦る。。
表の使い方は検索してみます。教科書には、常用対数とは何かの説明しか載ってなかったので。。
09008982005/03/23(水) 17:39:23
ごめん。わかった。
Ａ(x+y)ね。
0901１３２人目の素数さん2005/03/23(水) 17:50:19
そもそもx=log5 ならxは増加関数ですか？
0902べーた2005/03/23(水) 17:51:51
すいません。
y=log[5]xは増加関数であるから
・・・
でした。
0903BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU 2005/03/23(水) 17:58:37
Re:>893 お前誰だよ？
0904べーた2005/03/23(水) 18:12:41
別にlog[2]でも3でもいいような気がするんですが。。
5にしたのはナゼ？やっぱ適当っすか？
0905 ◆dTIND9k9ZI 2005/03/23(水) 18:29:03
図のようなttp://venus.aez.jp/uploda/data/dat1/upload314897.gif
１辺の長さが１の立方体があり、辺上を独立に動く二つの点PとQがある。
P,Qはいずれも１秒ごとに、立方体の頂点の一つから隣り合う三つの頂点の
いずれかへそれぞれ確率1/3で動くものとする。
PとQが同時に頂点Aから出発するとき、次の問いに答えよ。

（１）１秒後に、PとQが同じ頂点にある確率は･･･ア/イ
　A、P、Qが三角形をなす確率は･･･ウ/エ
（２）２秒後に、Pが頂点Cにある確率は･･･オ/カ
　PとQが同じ頂点にある確率は…キ/クケ
A、P、Qが三角形をなす確率は…コ/サシであり、そのとき
三角形APQの面積は√ス/セである。
（３）３秒後にPが頂点Gにある確率は…ソ/タ、Pが頂点Bにある確率は…チ/ツテ
A、P、Qが面積√2/2の三角形をなす確率は…トナ/ニヌ

という問題です。図が見にくかったらすいません。
よろしくお願いします。
0906１３２人目の素数さん2005/03/23(水) 18:31:00
できたとこまで書け
0907１３２人目の素数さん2005/03/23(水) 18:34:36
>>904
元の問題文を書いて
0908 ◆27Tn7FHaVY 2005/03/23(水) 18:34:56
>>905
「立法体どの3点も同一直線上にない」
これに注意して誘導にそってやればええねん
0909 ◆dTIND9k9ZI 2005/03/23(水) 18:51:51
>>906
とりあえず
(1)ア/イ…1/9、ウ/エ…8/9
(2)オ/カ…1/9、キ/クケ…1/81
までといたんですが自身ないです。
0910１３２人目の素数さん2005/03/23(水) 19:28:02
>904
いいよ。2の場合と3の場合を作ると
例題が２つ増える。それだけ。
7の場合と11の場合を作るとさらに例題が増える
それだけ。

＞y=log[5]xは増加関数であるから
＞log5 3<log5 √10<log5 4

って意味が理解できればそれでいい。あと
○○は増加関数だから○○＜○○＜○○
みたいに大小関係を決定するやり方は難しい問題とかで使うことがある。
0911１３２人目の素数さん2005/03/23(水) 19:34:12
>>909
最初から違うな。
PとQが同じ頂点にあるというのは
Ｐがどこかの頂点に行った後に
Ｑがそれと同じ頂点に行くということだから
その確率は１／３。

あるいは
（PとQが同じ頂点にある確率）
＝（ＰとＱが共にＢにある確率）
　＋（ＰとＱが共にＤにある確率）
　＋（ＰとＱが共にＥにある確率）
と考える。
0912１３２人目の素数さん2005/03/23(水) 20:28:15
y=4x-7に平行で
y=(x^3)-2*(x^2)+1に接する線がある時
接点のx座標は何か
0913１３２人目の素数さん2005/03/23(水) 20:31:16
1円玉が何個かありました。５円玉にできるだけ変えたら、６０枚減りました。
こんどは１０円玉にできるだけ変えたら、総数が１０枚になりました。はじめに
１円玉は何個あったか？
0914１３２人目の素数さん2005/03/23(水) 20:45:14
>>879激しく間違っているよ。もしかして釣り？
0915１３２人目の素数さん2005/03/23(水) 21:08:21
x^yが連続にならない点での値は定義してはならない厨？
0916１３２人目の素数さん2005/03/23(水) 21:11:26
>914
とりあえずスレタイの日本語ぐらい読める？
0917１３２人目の素数さん2005/03/23(水) 21:12:26
「Σ[k=0,n]x^nと書くな。1+Σ[k=1,n]x^nと書け」厨？
0918１３２人目の素数さん2005/03/23(水) 21:12:35
>>857
有難う。詳しくは線型代数で勉強しまつ。
0919１３２人目の素数さん2005/03/23(水) 21:13:24
「Σ[k=0,n]x^kと書くな。1+Σ[k=1,n]x^kと書け」厨？
0920 ◆27Tn7FHaVY 2005/03/23(水) 21:14:34
そんな厨もいるんか
0921 ◆dTIND9k9ZI 2005/03/23(水) 21:29:58
>>911
ありがとうございます。
そのＰとＱが共にＢにある確率が1/9ということでいいんですか？
あと、そのあとのウ/エはア/イを参考にして
1-1/3=2/3ということでOKですか？
0922１３２人目の素数さん2005/03/23(水) 21:45:55
ＯＫ牧場。続きもがんばって。
0923１３２人目の素数さん2005/03/23(水) 22:14:07
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0924 ◆dTIND9k9ZI 2005/03/23(水) 22:15:48
２秒後にPが頂点Cにある確率なんですけど
これは、PがB経由でCに行く…1/3・1/3=1/9
同様にPがD経由でCに行く…1/9
でそれを足して2/9ってことで良いんですか？
0925１３２人目の素数さん2005/03/23(水) 22:26:04
桶です。自信ないなら９通り全部書いて確かめれば。
0926べーた2005/03/23(水) 22:46:38
>>910
すぐ下に同じようなことをやる問題があるんですが、それはlog[5]でも4,3,2でもいいんですよね？

また質問ができてしまいました。

整数部分が３桁の正の数Mは、
100<=M<1000
すなわち、
10^2<=M<10^3
Mの常用対数をとると、
2<=log[10]<3
一般に、正の数Mが、n-1<=M<10^nを満たすとき
10^n-1<=M<10^n
であるから、Mの整数部分はn桁。

って例があるんですが、
10^2<=M<10^3から一気に
10^n-1<=M<10^n
にしてはいけないのでしょうか？
なぜわざわざ常用対数を取るのかなぁと。

あと、
9<log[10]2^30<10
10^9<2^30<10^10
ってどういう計算でやるんでしたっけ？？
こうなるのは分解してみてわかるんですが。。

あと、y=f(x)というのは、例えばy=xの関数のxを変数とするという意味だと思ってきたんですが、
何かどうも違う気が。。もっと適切な日本語あれば教えてください。。
0927１３２人目の素数さん2005/03/23(水) 23:06:21
>>926
＞すぐ下に同じようなことをやる問題があるんですが、
＞それはlog[5]でも4,3,2でもいいんですよね？
問題文に指示がなければ５にする必要性はないはず。
というか普通、対数の底はeか10を使う。

＞10^2<=M<10^3から一気に
＞10^n-1<=M<10^n
＞にしてはいけないのでしょうか？
＞なぜわざわざ常用対数を取るのかなぁと。
いいよ別に。対数の使い道の例を出してるんだと思う。

＞9<log[10]2^30<10
＞10^9<2^30<10^10
＞ってどういう計算でやるんでしたっけ？？
9=9log[10]10=log[10]10^9

＞あと、y=f(x)というのは、例えばy=xの関数のxを変数とする
＞という意味だと思ってきたんですが、 何かどうも違う気が。。
＞もっと適切な日本語あれば教えてください。。
「f(x)」は「xの関数」あるいは「xを変数とする関数」という意味。
「y=f(x)」なら「ｙはｘの関数」と読む
0928 ◆dTIND9k9ZI 2005/03/23(水) 23:09:37
(2)のPとQが同じ頂点にある確率なんですけど
取っ掛かりが分からないです。
>>924の答えを何かしら利用したりするんですか？
0929１３２人目の素数さん2005/03/23(水) 23:18:06
>>928
>>911の後半の考え方で。
＞>>924の答えを何かしら利用したりするんですか？
そうです
レス数が900を超えています。1000を超えると表示できなくなるよ。