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Lebesgue積分ｾﾞﾐ

レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。
0001１３２人目の素数さん05/03/04 13:25:04
を開催したいと思います
互いに傷を舐めあって行こうじゃないか
教科書は

ルベーグ積分入門　伊藤清三　しょうかぼう

でやろうと思います．
参加者は名乗りでること
sage進行でﾏﾀｰﾘと
0951１３２人目の素数さん2006/12/05(火) 09:25:06
951は素数ではない。
素因数分解951＝3×317
0952１３２人目の素数さん2006/12/05(火) 14:51:46
自作問題。関数を数列に置き換えてみた。

数列{fn(k)}(n,k∈N)と数列{f(k)}(k∈N)は次の条件を満たしている。
・任意のk∈Nに対してfn(k)↑f(k) (n→∞)
・任意のn∈Nに対してSn＝Σ[k＝1〜∞]fn(k)が存在する。
このとき、(∞も込めて)次が成り立つことを示せ。
・Σ[k＝1〜∞]f(k)＝sup[n∈N]Sn (＝lim[n→∞]Σ[k＝1〜∞]fn(k) )

見てのとおり、単調収束定理の数列版。結構簡単に解けた。
積分版とは違い、Σfn(k)が絶対収束しなくても良いことに注意。
0953１３２人目の素数さん2006/12/05(火) 15:32:39
それは伊藤の単調収束定理の証明の途中で使ってなかったか？
見てみないとわからんが
0954１３２人目の素数さん2006/12/08(金) 05:02:20
[x]をxを超えない最大の整数とし、f(n,x)=[2x*(2^n)]-2*[x*(2^n)] とする
f(n,x)=1or0となる事や ∀n { x*(2^n)≠[x]*(2^n) → f(n,1-x)=1-f(n,x) } や
f(n,x)がxを2進数表示で小数点n桁目になる事は計算すれば分かる

AをN上の超フィルターとし、{i|f(i,x)=k}∈Aならf(A,x)=k (k=0,1)とする
Aの性質よりxに対してf(A,x)=1かf(A,x)=0のどちらか一方のみが成り立つ
また∀n x*(2^n)≠[x]*(2^n)} →
{n}∈Aならf(A,x)=f(n,x)となるので、ここでは任意の{n}を含まないAに対してf(A,x)を考える

∫[x=0,a]f(A,x)dx
0955１３２人目の素数さん2006/12/08(金) 05:03:07
間違って送信してしまった。954は見なかった事にしておくれ
0956１３２人目の素数さん2006/12/08(金) 05:16:00
積分版でも絶対収束してなくても成り立つ。
0957１３２人目の素数さん2006/12/08(金) 07:58:02
ルベーグ積分では成り立たないな。
0958１３２人目の素数さん2006/12/08(金) 08:44:13
非可測集合の作り方 >>317を変更

[x]をxを超えない最大の整数とし、f(n,x)=[2x*(2^n)]-2*[x*(2^n)] とする
f(n,x)=1or0や ∀n {x*2^(n+1)≠[x*2^(n+1)] → f(n,c-x)=1-f(n,x) } や（c=m/(2^n) m∈Z）
f(n,x)がxの2進数表示で小数点n+1桁目になる事は計算すれば分かる

AをN上の超フィルターとし、{i|f(i,x)=k}∈Aならf(A,x)=k (k=0,1)とする
{n}∈Aならf(A,x)=f(n,x)となるので、以降で任意の{n}を含まないAに対してf(A,x)を考える
Aの性質よりxに対してf(A,x)=1かf(A,x)=0のどちらか一方のみが成り立つ事や
また{∀n x*(2^n)≠[x*(2^n)]} → f(A,c-x)=1-f(A,x) が成り立つ事が分かる
（c=m/(2^k) m∈Z k∈N）

S={ x |∃n x*(2^n)=[x*(2^n)] }は零集合なので
f(A,x)が可測関数ならc=m/(2^k) m,k∈Nに対して
∫{x=0,c} f(A,x)+f(A,c-x) dx=∫{x∈[0,c]/S} f(A,x)+f(A,c-x) dx
=∫{x∈[0,c]/S} dx = c かつ∫{x=0,c} f(A,x)dx=∫{x=0,c} f(A,c-x)dxとなるので
∫{x=0,c} f(A,x)=c/2となる
{c|c=m/(2^k) m,k∈N} はR+上で稠密だから∀y>0で∫{x=0,y}f(A,x)=y/2となる
同じようにして∀y<0で∫{x=y,0}f(A,x)=-y/2となる
これよりX={x|f(A,x)=1}は>>301>>333のXの条件を満たすから可測集合と考えると矛盾する
よってXはLebesgue非可測なRの部分集合となる
0959１３２人目の素数さん2006/12/08(金) 13:39:54
どうでもいいけど、何の得にもならんのに、テキストエディタでこんなに大量の数式入力して、
読みにくい、きったねぇレスを読むやつなんて居るのかね？常識あんのか>>958
TeXでも使って、数式書いて、dvi or ps or pdfでもリンクしろアホ。
0960１３２人目の素数さん2006/12/08(金) 13:52:07
俺は慣れてるからどうってことないな。
頭の悪いやつにはつらいかもしれんな。
09619582006/12/08(金) 15:18:32
>>959
dviにしてリンクだなんて面倒だからヤ
0962１３２人目の素数さん2006/12/08(金) 16:03:57
アップローダに置いたらすぐ消えちゃうだろ。
さすがに自分の大学のサーバとかは使いたくないだろうしｗ
0963１３２人目の素数さん2006/12/08(金) 16:59:15
dviが面倒って、TeXコンパイルすりゃまずdviができまんがな。
まさか？TeX使えねぇ池沼？
0964１３２人目の素数さん2006/12/08(金) 17:09:01
>>958を読みにくい、なんて言う人のほうが知能程度が低いと思うけど。
09659582006/12/08(金) 17:14:46
もう今更書いてしまったもんをどうこう言ってどうなるのですか皆さん
963は私にコレ以上何をして欲しいの？
0966１３２人目の素数さん2006/12/08(金) 18:01:36
俺としては、馬鹿は相手にせずに放置してほしい。
0967１３２人目の素数さん2006/12/08(金) 23:50:51
どうかんがえても常識ないのは>>959のほうなので
スルー推奨
0968１３２人目の素数さん2006/12/09(土) 10:51:06
TeX使えないのはちょっとまずいのでは
0969１３２人目の素数さん2006/12/09(土) 11:29:35
>>963はいつになったら>>958をTeX化してDVIアップロードしてくれるんだ！？

まさか、「面倒だからお前がやれ」と言って逃げてるわけじゃねーよなｗ
0970１３２人目の素数さん2006/12/09(土) 13:54:25
要は適当な関数f_1,f_2,f_3...(f_n:R→{0,1})と適当な超フィルターAを用意して
{i∈N|f_i(x)=0}∈Aならf_A(x)=0、{i∈N|f_i(x)=1}∈Aならf_A(x)=1と定義すれば
f_A(x)は非可測関数になるという事です
0971１３２人目の素数さん2006/12/11(月) 15:06:23
>>969
>>963ではないが、

　お　前　が　や　れ　！
0972１３２人目の素数さん2006/12/11(月) 15:30:30
>>963=>>971
言い出し屁がやるもんだよ
0973１３２人目の素数さん2006/12/11(月) 19:41:48
測度μと関数fに対して、fμが測度になるとはどういう事なのですか？
測度といえば集合に対して値をとるものと学びましたが、
それに関数をかける意味が分かりません。
0974福田和也2006/12/11(月) 23:01:38
>>973ちんこ！
0975１３２人目の素数さん2006/12/11(月) 23:28:39
>>969
こういうやつに限ってTeX化されても読まない。
0976福田和也2006/12/11(月) 23:43:37
ちんこ！
0977福本和也2006/12/12(火) 03:06:19
ちんぽ！
0978１３２人目の素数さん2006/12/12(火) 21:36:48
w
0979１３２人目の素数さん2006/12/13(水) 09:32:33
sage
0980１３２人目の素数さん2006/12/13(水) 09:33:05
sage
0981１３２人目の素数さん2006/12/13(水) 09:33:37
981!!
0982積分まき2006/12/14(木) 05:00:25
ｘの３乗／（ｅのｘ乗−１）の積分計算の結果を教えて下さい。
0983１３２人目の素数さん2006/12/14(木) 12:04:23
∫0to0 dμってことで被積分関数がなんであろうが0
0984１３２人目の素数さん2006/12/14(木) 12:36:40
sage
0985１３２人目の素数さん2006/12/15(金) 08:43:32
↓次スレ
0986１３２人目の素数さん2006/12/15(金) 22:04:46
↑
0987１３２人目の素数さん2006/12/15(金) 22:08:13
1＋2＋3＋…＋4＝？？？
0988１３２人目の素数さん2006/12/16(土) 13:25:03
一年二百八十七日。
0989１３２人目の素数さん2006/12/17(日) 13:25:04
一年二百八十八日。
0990１３２人目の素数さん2006/12/18(月) 13:25:04
一年二百八十九日。
0991１３２人目の素数さん2006/12/18(月) 13:46:48
age
0992１３２人目の素数さん2006/12/18(月) 15:00:55
sage
0993１３２人目の素数さん2006/12/18(月) 15:01:38
sage
0994１３２人目の素数さん2006/12/18(月) 15:02:18
sage
0995１３２人目の素数さん2006/12/18(月) 15:03:00
sage
0996１３２人目の素数さん2006/12/18(月) 15:03:36
sage
0997１３２人目の素数さん2006/12/18(月) 15:04:22
sage
0998１３２人目の素数さん2006/12/18(月) 15:04:54
sage
0999１３２人目の素数さん2006/12/18(月) 15:05:27
sage
1000１３２人目の素数さん2006/12/18(月) 15:06:04
一年二百八十九日一時間四十一分。
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