非可測集合の作り方 >>317を変更

[x]をxを超えない最大の整数とし、f(n,x)=[2x*(2^n)]-2*[x*(2^n)] とする
f(n,x)=1or0や ∀n {x*2^(n+1)≠[x*2^(n+1)] → f(n,c-x)=1-f(n,x) } や（c=m/(2^n) m∈Z）
f(n,x)がxの2進数表示で小数点n+1桁目になる事は計算すれば分かる

AをN上の超フィルターとし、{i|f(i,x)=k}∈Aならf(A,x)=k (k=0,1)とする
{n}∈Aならf(A,x)=f(n,x)となるので、以降で任意の{n}を含まないAに対してf(A,x)を考える
Aの性質よりxに対してf(A,x)=1かf(A,x)=0のどちらか一方のみが成り立つ事や
また{∀n x*(2^n)≠[x*(2^n)]} → f(A,c-x)=1-f(A,x) が成り立つ事が分かる
（c=m/(2^k) m∈Z k∈N）

S={ x |∃n x*(2^n)=[x*(2^n)] }は零集合なので
f(A,x)が可測関数ならc=m/(2^k) m,k∈Nに対して
∫{x=0,c} f(A,x)+f(A,c-x) dx=∫{x∈[0,c]/S} f(A,x)+f(A,c-x) dx
=∫{x∈[0,c]/S} dx = c かつ∫{x=0,c} f(A,x)dx=∫{x=0,c} f(A,c-x)dxとなるので
∫{x=0,c} f(A,x)=c/2となる
{c|c=m/(2^k) m,k∈N} はR+上で稠密だから∀y>0で∫{x=0,y}f(A,x)=y/2となる
同じようにして∀y<0で∫{x=y,0}f(A,x)=-y/2となる
これよりX={x|f(A,x)=1}は>>301>>333のXの条件を満たすから可測集合と考えると矛盾する
よってXはLebesgue非可測なRの部分集合となる