Lebesgueの収束定理によって、
lim∫nlog[1+(f/n)＾α]dx＝∫lim　nlog[1+(f/n)＾α]dx
ところで、
lim　(n^α)log[1+(f(x)/n)^α]=f(x)^α　である。
よって、
lim　nlog[1+(f(x)/n)^α]
＝f(x)^α・lim　n^{1-α}

＝f(x) if α=1
＝0 if α>1
＝f(x)^α・∞ if 0<α<1
（但し、f(x)^α・∞はf(x)=0のときは０とする。）
従って、
lim∫nlog[1+(f/n)＾α]dx
＝∫lim　nlog[1+(f/n)＾α]dx
＝∫f(x)dx=c 、if α=1
＝∫0 dx=0 、if α>1
＝∫f(x)^α・∞dx＝∞、 if 0<α<1