こんなのしか思いつかん。

ルベーグ外測度をmで表すことにする。
補題：I⊂Rを有界集合(よってm(I)＜∞)とする。J⊂Iがm(J)＝0を満たすとき、m(I−J)＝m(I)が成り立つ。
証明：I−J⊂Iだからm(I−J)≦m(I)が成り立つ。あとはm(I)≦m(I−J)を示せばよい。まず、m(I−J)及び
m(J)の定義から、任意のε＞0に対して、I−Jを被覆するある開区間の列{On}が存在して、m(I−J)≦
Σ[i＝1〜∞]|On|＜m(I−J)＋εが成り立ち、同じく、Jを被覆するある開区間の列{O'n}が存在して、
0≦Σ[i＝1〜∞]|O'n|＜εが成り立つ。すると、I＝(I−J)∪J⊂(∪On)∪(∪O'n)となり、Iの開被覆が
得られたので、m(I)の定義からm(I)≦Σ|On|＋Σ|O'n|となるが、この不等式の右辺＜m(I−J)＋2ε
となる。よって、任意のε＞0に対してm(I)＜m(I−J)＋2εが成り立つことになる。よって、
m(I)≦m(I−J)となる。以上より、m(I−J)＝m(I)となる。


I＝[0,1), J＝「I内の有理数全体」⊂Iとおくと、I−J＝「I内の無理数全体」となる。示すべきは
m(I−J)＝1であるが、このI,Jは補題の仮定を全て満たすので、m(I−J)＝m(I)＝1となり、確かに
m(I−J)＝1が成り立つ。