>Riemann積分で完全加法性が成立しないような区間の例
ちょっとよくわからないけれど

たとえばfとして

f(x)=0 x∈{x∈[0,1]| xは有理数}
1 x∈{x∈[0,1]| xは無理数}

とすれば[0,1]上の積分はRiemann積分は定義されない（何故なら上積分と下積分が一致しない）が
Lebesgue積分は1って感じって感じになるんだけど…

ええと最初のp1で言ってる面積っていうのは
これから勉強するであろう「測度」に対応するものです
p30を見てもらえればわかるけれど測度の定義とかが載っていますですよ