てかさもっというなら
竹之内、吉田の本を持っていないのでなんともいえないので説明を詳しくおながいします
つーか今手元にルベーグ積分の本ないので全然わからんが
とりあえずなんとなく読み取れるのだけレスしてみると

伊藤本の定義に関して
その定義はたぶん単関数の場合の定義をしているのであって
一般の可測関数で定義しているわけではないでしょ？

一般の可測関数の定義を考えてみたら伊藤本でもsupとinfに対応する部分がでてくると思うけど…