追加です。

古い数セミで位相特集があったので借りてきましたが、まったく同じ部分でつまづいていたとことが卒業してからわかったという記事がありました。
あと集合Xの部分の集合を単にべき集合ぐらいにしか考えてなかったとかetc
こんなのは論理思考ができるかどうかより定義の仕方に問題あると思うけどなぁ。決して難しくてつまづく話じゃないでしょ。
斎藤の数学の基礎だと部分集合の族などといわずにべき集合の部分集合としてる。
これだと最大の枠組みを明示してその中の部分集合というわけだから間違えようが無いと思うんですが。
皆が同じ部分でつまづくのは、一方的に、つまづく側の責任だとも思えない。
証明テクに過ぎないε-δは面食らっても、わからないというのは結局演習問題をこなしてないからでしょ？一挙に理解できなくても演習を繰り返すうちに慣れてくる話で、
わからないというのは学ぶ側の努力不足だと思います。
それに対して、抽象概念である位相の方は、与えられた集合から位相を作れといった類の演習問題を繰り返してみても、
"これ使って何するの"っていう部分が明確にならないと定義の意図するところがわからない。演習を繰り返して位相に関する問題ができるようになったところで、
必要性を認識しないとわかったことにならない。
他分野から見ると
ε-δ、集合論、ルベーグ積分は何物か具体的にわかる。また必要性も他人に説明できる。その人が必要と思うかどうかは別にして、
でも位相って何よと。距離位相にある近い遠いの概念だけじゃどうも納得できない。訳語としてもphaseと同じというのは紛らわしくて非常にまずいんですよ。

ところで、
位相の交わりで有限個と書いてたのは小林の集合と位相だけで、あとは二つ集合A,Bの交わりを挙げてましたがこの二つってのは
有限個の意味でしょうか？うーん。最低限定義だけは一本化して欲しい。