ルベーグ積分は位相と完全に独立に定義できる。位相空間でなくても
一般の集合の上で測度・積分は定義できる。

しかし、位相空間の上で測度を考える場合、全ての開集合が可測集合と
なるように定義しないと、連続函数が可測でなくなる可能性がある。
結局、実用の問題を考えると位相とのからみで可測集合を定義することになる。

また数学としては独立であっても、位相を理解できる程度に論理を理解する
力がないと、実際にルベーグ積分を学ぶことは難しい。

位相空間論やルベーグ積分が数学科の学生が学ぶ上での壁になることが
多いのは論理力がないから。
極端にいえば、新入生の論理力ではε-δが壁になるのと同じ。