>>561
＞位相空間の定義を繰り返しただけと全く理解できておりませんでした。

これは定義だけを解説なしに眺めたとき、初心者が見逃しがちな点と思う。位相空間
の定義では、開集合公理の場合、合併は「非可算」無限個、共通部分は「有限」個（閉
集合公理の場合は逆転）。可測空間の定義では、合併も共通部分も「可算」無限個。そ
れらの点こそが定義のポイントなのに、なんとなく「要するに合併と共通部分について
閉じていればいいのね」とだけ把握してしまう…

＞と書けて、dxdyに相当する面積素の和とも解釈できるわけですが、
＞面積というのはこの面積素が領域内の全点(x,y)を覆うように、重なることなく寄せ集まって構成されてるわけではないのでしょうか？

気持ちはそうだし、だからこそdxdyのような記号を使う（無限に細かく分けて、それを
集める、というのが微積分の元祖思想）。
しかし“0ではないが無限に小さい”面積をもつ「面積素」などというものは数学的に
正当化できない（まあ超準解析という話もあるが…）。
そこで、無限小でなく有限の面積をもつタイル（これは縦×横で直接面積を定義できる）
で上下から「近似」して、答えとして同じ面積S=∫f(x)dx = ∫∫dxdyを得ようとした
わけ。
最初にそれを試みたのがコーシー、続いてリーマンがそうやって「意味のはっきりした
量」だけと極限概念とを使って積分を「厳密に」定義するまでは、オイラーもニュート
ンも漠然と>>561のように考えていた（が、それでは深く追求すると論理的に破綻する）。