>>558
>測度は可算加法性をもつ（ように定義する）ので、図形の測度（面積）を可算無限個
>のタイルで近似できる。

なんとなく、ぼんやりとわかってきました。
測度空間となるσ集合体で可算無限回の結び演算について閉じているというのはそういうことだったんですね。
位相空間の定義を繰り返しただけと全く理解できておりませんでした。
しかもディリクレ関数というのは有理数点に位置する点を可算無限回数だけ加算したいがためのexampleであって
無理数部分については零集合としてしまい、言及しなかったわけですね。
だから上で挙げたY(x)みたいな無理数部位を直接演算対象とするような関数はexampleに挙げなかったと。

>なお[0,1]区間の無理数全体の測度が1という結論は、
この部分について教えてください。ディリクレ関数の場合はx方向1、y方向1なので面積1はすぐ計算できますが、
一般の実数で定義され、緩やかな変化をする連続関数y=f(x)>0を考えます。
x軸との間で挟まれた面積は
∫f(x)dx = ∫∫dxdy
と書けて、dxdyに相当する面積素の和とも解釈できるわけですが、
面積というのはこの面積素が領域内の全点(x,y)を覆うように、重なることなく寄せ集まって構成されてるわけではないのでしょうか？