>>352
>δ(x-x(i))が、x(i)で0,その他で1な関数というつもりなら、ディリクレ関数は
>Σδ(x-x(i))ではない.（関数値1の点が重なりまくって無限に大きくなってしまう）

全く逆。
x=x(i)で1、それ以外で0
ちなみに関数の平行移動は高校1年生のカリキュラムだったと思います。

>結局「インパルス関数」と「デルタ関数」を同じ記号δで書くものだから,
>ごっちゃにしてるのだろう.

個人的にはごっちゃにしたくないので困ってるわけですが
多くの書物はごっちゃ表記してます(伊藤 自動制御、名著と言われてます。多くの大学で教科書として使われてます)
振幅1のディジタル信号列　u(n)=Σδ(t-kT), n=1,2,...、
をラプラス変換してU(s)=1/(1-exp(-Ts))
とか。ちなみ一般にディジタル信号列を

x(n)=Σx(kT)δ(n-kT)

とする表記はディジタル信号を扱う書物ではどれにも使われてます。
また、本によってはδとδpと分けて書いてるものもあります(小島 Z変換入門など）が
むしろごっちゃにしてるものがほとんどです。δの方は面積、δpの方は振幅を1にして、
ごっちゃにしてる場合は、それぞれ読者が勝手に判断する。
まぁ信号処理の方はあくまでも関数値を抜き出す便法という意味でδ関数を深く考えず適当に使ってるだけかもしれませんが。

>普通のルベーグ積分論では測度Pのほうを変えるのだが,
>一点で∞,その他で0の値をとる関数を考えてよいが, その積分値は0だ

工学、物理においてもL2空間というかヒルベルト空間を前提にすることがほとんどで、
ベースとしては数学をツールとして使うのでそこに認識のズレがあっては何かと不都合です。
δ関数は一点で∞というより、面積∞で幅0の関数なのでルベーグ積分でも0ですよね。
ここであげられた関数というのはあくまでも一点で∞それ以外で0の非δ関数という意味？